Question

如图所示，两根足够长倾角为30°的平行导轨DE、GF，相距为d=0.5m，D、G间接有容量C=5000μF的电容器．长为d，质量m=20g的导体棒ab可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计．整个装置处在磁感应强度为2.0T的匀强磁场中，磁场方向与导轨DE、GF所在的平面垂直．现使导体ab棒由静止开始滑下，经时间t速度v=10m/s．整个过程电容器未被击穿．求：
（1）t时刻电容器所带的电量；
（2）t的大小；
（3）时间t内有多少机械能转化为电磁能．

Answer 1

分析：（1）导体棒向下运动切割磁感线产生感应电动势，对电容器充电，根据E=Bdv求出t时刻导体棒产生的感应电动势，因导体棒和导轨的电阻不计，电容器的电压等于E，即可由Q=CU求出电容器的电量．
（2）对导体棒，根据牛顿第二定律和安培力公式列式得到加速度与电流的关系．对于电容器，有：I=

△Q

△t

=

C△U

△t

=

CBd△v

△t

=CBda，可推导出导体棒的加速度，判断出导体棒做匀加速运动，再结合匀变速运动公式v=at，即可求得t．
（3）导体棒做匀加速运动，由公式v²=2aS求出棒ab在t时间内下滑的距离S．根据能量守恒可求解转化为电磁能的机械能．

解答：解：（1）t时刻电容器两端的电压为：U=E=Bdv
电容器所带电量：Q=CU=CBdv=5×10^-3×2×0.5×10=0.05C
（2）棒ab沿导轨下滑时，根据牛顿第二定律有：mgsin30°-F=ma 
又棒所受的安培力为：F=BId
电路中电流为：I=

△Q

△t

=

C△U

△t

=

CBd△v

△t

=CBda
联立以上三式得：a=

mgsin30°

m+CB2d2

=

2×10-2×10× 1 2

2×10-2+5×10-3×22×0．52

=4m/s²．
式中各量均不变，说明加速度不变，导体棒做匀加速直线运动．
由匀变速运动公式得：v=at
得：t=

v

a

=

10

4

s=2.5s
（3）棒ab在t时间内沿导轨下滑的距离S，由匀变速运动公式得：v²=2aS
得：S=

v2

2a

=

102

2×4

m=12.5m
时间t内转化为电磁能的机械能，则有：
△E_电=△E_机=mgSsin30°-

1

2

mv2=2×10^-2×10×12.5×0.5-

1

2

×2×10^-2×10²=0.25J．  
答：（1）t时刻电容器所带的电量为0.05C；
（2）t的大小为2.5s；
（3）时间t内有0.25J的机械能转化为电磁能．

点评：本题关键是分析棒的受力情况，根据牛顿第二定律得到加速度的表达式，判断出棒的运动性质．再结合运动学公式和能量守恒求解．