Question

13．2016年7月，科学家宣布找到了一颗人类“宜居”行星，它是离太阳最近的恒星--比邻星（Proxima Centauri）的行星．若这颗“宜居”行星质量为地球的a倍，半径为地球的b倍，设该行星的卫星的最小周期为T₁，地球的卫星的最小周期为T₂，则$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=（　　）

• A． $\sqrt{\frac{{b}^{3}}{a}}$
• B． $\sqrt{\frac{{a}^{3}}{b}}$
• C． $\sqrt{{b}^{3}}$
• D． $\sqrt{a{b}^{3}}$

Answer 1

分析 卫星分别绕“宜居行星”和地球表面做匀速圆周运动时，周期最小，根据万有引力提供向心力列出含周期的方程，联立即可求解．

解答 解：卫星在“宜居”行星表面附近绕“宜居”行星做匀速圆周运动时，周期最小，由万有引力提供向心力，有
$G\frac{{M}_{1}^{\;}m}{{R}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{R}_{1}^{\;}$①
卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动时，周期最小，根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{{M}_{2}^{\;}m′}{{R}_{2}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{R}_{2}^{\;}$②
联立①②得$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}\frac{{M}_{2}^{\;}}{{M}_{1}^{\;}}}=\sqrt{{b}_{\;}^{3}\frac{1}{a}}=\sqrt{\frac{{b}_{\;}^{3}}{a}}$，故A正确，BCD错误
故选：A

点评 对于卫星类型，关键是建立卫星运动的模型，理清其向心力来源：万有引力，根据万有引力等于向心力进行解答．