Question

在一根长为L不可伸长的轻质线一端系一质量为m的小球，线的另一端系于O点．把球拉到水平后静止释放，问：小球运动到什么位置具有最大的竖直分速度？

Answer 1

分析：小球在竖直方向先做加速运动后做减速运动，当小球竖直方向受到的合力等于零的瞬间，其速度最大．此时由重力沿绳子方向的分力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列出绳子拉力与速度的关系．再由机械能守恒定律，求出小球最大的竖直分速度．

解答：解：小球受力如图所示．
在下落过程中绳子拉力T逐渐增大，根据力的独立作用原理，在竖直方向上有
    mg-Tcosα=ma_y
竖直方向的分运动的加速度逐渐减小，速度逐渐增大，当a_y=0，即mg=Tcosα时，v_y达到最大值，此后Tcosα大于mg，a_y竖直向上，物体的竖直分速度将减小．当小球竖直分速度v_y最大时，有
   mg=Tcosα…①
T-mgcosα=m

v2

L

…②
根据机械能守恒定律得
   mgLcosα=

1

2

mv2…③
取立①②③式得：cosα=

3

3

，即：α=arccos

3

3

．
最大竖直分速度为：vy=vsinα=

2gLcosα

?sinα=

4 3 9

gL．
答：小球运动到绳子与竖直方向的夹角为α=arccos

3

3

时具有最大的竖直分速度．

点评：本题是向心力知识和机械能守恒定律的综合，可以用极限法分析小球在竖直方向的运动情况．