Question

如图所示，竖直面内有一粗糙斜面AB，BCD部分是一个光滑的圆弧面，C为圆弧的最低点，AB正好是圆弧在B点的切线，圆心O与A、D点在同一高度，∠OAB＝37°，圆弧面的半径R＝3.6 m，一小滑块质量m＝5 kg，与AB斜面间的动摩擦因数μ＝0.45，将滑块由A点静止释放．求在以后的运动中(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)

(1)滑块第一次滑过C点时对轨道的压力；（2）在滑块运动过程中，C点受到压力的最小值．

(3) 滑块在AB段上运动的总路程；

Answer 1

解　（1）滑块第一次过C点时，速度最大，设为v1，分析受力知此时滑块受轨道支持力最大，设为Fmax

从A到C，根据动能定理有：mgR－FflAB＝mv

lAB＝R/tan 37°

根据受力以及向心力公式知：Fmax－mg＝

联立三式并代入数据得：Fmax＝102 N

（2）当滑块以B为最高点往复运动的过程中过C点时速度最小，设为v2，此时滑块受轨道支持力也最小，设为Fmin.

从B到C，根据动能定理有：mgR(1－cos 37°)＝mv

根据受力及向心力公式有：Fmin－mg＝

联立两式并代入数据得：Fmin＝70 N

 (3)由于滑块在AB段受摩擦力作用，则滑块往复运动的高度将越来越低，由于mgsin 37°＞μmgcos 37°，最终以B为最高点在光滑的圆弧段做往复运动．

设滑块在AB上运动的总路程为s.

滑块在AB段上受摩擦力，Ff＝μFN＝μmgcos 37°

从A点出发到最终以B点为最高点做往复运动，根据能量守恒有：ΔEp＝Ffs，即：mgRcos 37°＝Ffs，

解得s＝＝8 m.