Question

如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R=1.0m，BC段长L=1.5m．弹射装置将一个质量为1kg的小球（可视为质点）以v₀=5m/s的水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度h=1.2m，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω和向心加速度a的大小及圆管对小球的作用力大小；
（2）小球从A点运动到C点的时间t；
（3）小球将要落到地面上D点时的速度大小．

Answer 1

分析：（1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动时，角速度ω=

v0

R

，加速度a=ωv₀．根据牛顿第二定律求出圆管对小球的作用力大小；
（2）小球从A到B的时间t₁=

πR

v0

，从B到C做匀速直线运动，时间为t2=

L

v0

．
（3）根据动能定理求出小球将要落到地面上D点时的速度大小．

解答：解：（1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动时，角速度ω=

v0

R

=

5

1

rad/s=5rad/s，
加速度为a=ωv₀=5×5m/s²=25m/s²．
根据牛顿第二定律得，圆管对小球的作用力大小F=ma=25N．
（2）小球从A到B的时间t₁=

πR

v0

=

3.14×1

5

s═0.628s，从B到C做匀速直线运动，时间为t2=

L

v0

=

1.5

5

s=0.3s
故小球从A点运动到C点的时间t=t₁+t₂=0.928s；
（3）对于平抛运动过程，根据动能定理得
  mgh=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得，v=7m/s
答：
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω是5rad/s，向心加速度a的大小为25m/s²．圆管对小球的作用力大小是25N；
（2）小球从A点运动到C点的时间t是0.928s；
（3）小球将要落到地面上D点时的速度大小是7m/s．

点评：本题是匀速圆周运动、匀速直线运动和平抛运动的组合，记住匀速圆周运动的角速度、加速度等等公式，就可以轻松解答．