Question

宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍，因α量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示，飞船喷气质量可忽略不计．
（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h_近，和远火星点高度h_远．
（2）设飞船原来的运动速度为v₀，试计算新轨道的运行周期T．

Answer 1

分析：（1）根据开普勒定律中的面积定律、机械能守恒定律、牛顿第二定律列式后联立求解；
（2）根据开普勒定律中的周期定律列式求解．

解答：解：（1）设火星和飞船的质量分别为M和m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点与火星中心的距离为r，飞船速度为v．
因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为

1

2

r0v0，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在P点的面积速度

1

2

r0vpsinθ（P为圆和椭圆的交点），
由开普勒第二定律，后者又应等于飞船在近、远火星的面积速度

1

2

rv，
故

1

2

r0v0=

1

2

r0vpsinθ=

1

2

rv
即　r₀v₀=rv　　       　  ①
由机械能守恒定律　

1

2

mv2-G

Mm

r

=

1

2

m(

v

2 0

+a2

v

2 0

)-G

Mm

r0

                ②
飞船沿原圆轨道运动时，有　G

Mm

r 2 0

=m

v 2 0

r0

                                   ③
式中　r₀=R+H，r=R+h
上述三个方程消去G、M、v₀后可解得关于r的方程为(1-α2)r2-2r0r+

r

2 0

=0
上式有两个解，大者为r_远，小者为r_近，即

r近= r0 1+α = R+H 1+α r远= r0 1-α = R+H 1-α

故近、远火星点距火星表面的高度为h近=r近-R=

H-αR

1+α

，h远=r远-R=

H+αR

1-α

，
（2）设椭圆轨道的半长轴为a，则r_近+r_远=2a
即　　a=

r0

1-α2

飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为　　T0=

2πr0

v0

设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T，由开普勒第三定律得　　

T

T0

=(

a

r0

)3/2
故T=T0(

a

r0

)3/2=

2πr0

v0

(

1

1-α2

)3/2
T=

2π(R+H)

v0

(

1

1-α2

)3/2
答：（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h_近为

H-αR

1+α

，远火星点高度h_远为

H+αR

1-α

；
（2）计算新轨道的运行周期T为

2π(R+H)

v0

(

1

1-α2

)3/2．

点评：本题是开普勒定律和机械能守恒定律的综合运用问题，目前对于开普勒三定律，多数省份是不要求定量计算的，较难．