Question

宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍，因α量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示，飞船喷气质量可忽略不计．
（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h_近，和远火星点高度h_远．
（2）设飞船原来的运动速度为v，试计算新轨道的运行周期T．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据开普勒定律中的面积定律、机械能守恒定律、牛顿第二定律列式后联立求解；
（2）根据开普勒定律中的周期定律列式求解．
解答：解：（1）设火星和飞船的质量分别为M和m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点与火星中心的距离为r，飞船速度为v．
因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在P点的面积速度sinθ（P为圆和椭圆的交点），
由开普勒第二定律，后者又应等于飞船在近、远火星的面积速度，
故=sinθ=
即 rv=rv          ①
由机械能守恒定律                 ②
飞船沿原圆轨道运动时，有                                    ③
式中 r=R+H，r=R+h
上述三个方程消去G、M、v后可解得关于r的方程为
上式有两个解，大者为r_远，小者为r_近，即
故近、远火星点距火星表面的高度为，，
（2）设椭圆轨道的半长轴为a，则r_近+r_远=2a
即
飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为
设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T，由开普勒第三定律得
故

答：（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h_近为，远火星点高度h_远为；
（2）计算新轨道的运行周期T为．
点评：本题是开普勒定律和机械能守恒定律的综合运用问题，目前对于开普勒三定律，多数省份是不要求定量计算的，较难．