Question

宇宙中存在一些离其它恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。稳定的四星系统存在多种形式，其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运行；另一种如图所示，四颗恒星始终位于同一直线上，均围绕中点O 做匀速圆周运动。已知万有引力常最为G，请回答：

   （1）已知第一种形式中的每颗恒星质量均为m，正方形边长为L，求其中一颗恒星受到的合力；

   （2）已知第二种形式中的两外侧恒星质量均为m、两内侧恒星质最均为M ，四颗恒星始终位于同一直线，且相邻恒星之间距离相等，求内侧恒星质量M与外侧恒质m的比值 。

Answer 1

（1）（2）85︰63

解析:

（l）对其中任意一颗恒星．它受到的合力为

    F_合＝G                                       （ 6 分）

＝                                            （ 2 分）

   （2）设相邻两颗恒星间距为a ，四颗星总位于同一直线，即四颗恒星运动的角速度ω相同，由万有引力定律和牛顿第二定律，对内侧星M 有

G                        （4分）

对外侧星m有

G                      （4分）

解得M︰n ＝ 85︰63 （2 分）