Question

我国于2007年10月24日成功发射“嫦娥1号”卫星，该卫星可贴近月球表面运动且轨道是圆形的．已知地球的半径是月球半径的4倍，地球的质量是月球质量的81倍，地球近地卫星的周期为T₀，地球表面的重力加速度g．
求：（1）“嫦娥1号”卫星绕月球表面做匀速圆周运动的周期．
（2）设想宇航员在月球表面做自由落体实验，某物体从离月球表面h处自由下落，经多长时间落地？

Answer 1

分析：（1）地球近地卫星受地球的万有引力提供向心力，探月卫星它受月球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律两次两式相比，可以求出“嫦娥1号”的运动周期T₁．
（2）根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力，在地球上有：mg=G

Mm

R2

，在月球上有：m1g1=G

M1m1

R 2 1

，两式相比，计算出月球表面重力加速度g₁．再根据自由落体运动的规律h=

1

2

g1

t

2 1

，可计算出落体运动的时间．

解答：解：（1）设地球的质量为M，半径为R，近地卫星的质量为m，周期为T₀
由万有引力提供向心力，有：G

Mm

R2

=m（

2π

T0

）²R
设月球的质量为M₁，半径为R₁，探月卫星的质量为m₁，周期为T₁
由万有引力提供向心力，有：G

M1m

R12

=m（

2π

T1

）²R₁
两式联立解得：T₁=

R13 R 3   ? M1 M

T0=

( 1 81 )3×4

?T₀≈2.7×10^-3T₀
（2）设地球表面的重力加速度为g，月球表面的重力加速度为g₁
g=

GM

R2

g₁=

GM1

R 2 1

g1=

16

81

g
物体做自由落体运动，故：h=

1

2

g1

t

2 1

，
解得：t₁=

2h g1

=

9

4

2h g

；
答：（1）“嫦娥1号”卫星绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2.7×10^-3T₀．
（2）某物体从离月球表面h处自由下落，经

9

4

2h g

长时间落地．

点评：本题要求掌握天体运动中两个重要的关系；①环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动所需要的向心力由万有引力提供，②星球表面的物体受到的重力等于万有引力．同时还要知道自由落体运动的规律．