Question

如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B．有两根质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场II中点C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放．当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即△v∝△x．
（1）若a棒释放的高度大于h₀，则a棒进入磁场I时会使b棒运动，判断b 棒的运动方向并求出h₀．
（2）若将a棒从高度小于h₀的某处释放，使其以速度v₀进入磁场I，结果a棒以

v0

2

的速度从磁场I中穿出，求在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q和两棒即将相碰时b棒上的电功率P_b．
（3）若将a棒从高度大于h₀的某处释放，使其以速度v₁进入磁场I，经过时间t₁后a棒从磁场I穿出时的速度大小为

2v1

3

，求此时b棒的速度大小，在如图坐标中大致画出t₁时间内两棒的速度大小随时间的变化图象，并求出此时b棒的位置．

Answer 1

（1）根据左手定则判断知b棒向左运动．
a棒从h₀高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有
mgh₀=

1

2

mv²
得v=

2gh0

a棒刚进入磁场I时E=BLv
此时感应电流大小I=

E

2R

此时b棒受到的安培力大小F=BIL
依题意，有F=Kmg
求得h₀=

2K2m2gR2

B4L4

（2）由于a棒从小于进入h₀释放，因此b棒在两棒相碰前将保持静止．
流过电阻R的电量q=

.

I

△t
又

.

I

=

. E

R总

=

B△S

R总△t

所以在a棒穿过磁场I的过程中，通过电阻R的电量
q=

BLd

2R

将要相碰时a棒的速度
v=

v0

2

-

v0- v0 2

d

×

d

2

=

v0

4

此时电流I=

BLv0

8R

此时b棒电功率P_b=I²R=

B2L2v 20

64R

．
（3）由于a棒从高度大于h₀处释放，因此当a棒进入磁场I后，b棒开始向左运动．由于每时每刻流过两棒的电流强度大小相等，两磁场的磁感强度大小也相等，所以两棒在各自磁场中都做变加速运动，且每时每刻两棒的加速度大小均相同，所以当a棒在t₁时间内速度改变（v₁-

2

3

v₁）=

1

3

v₁时，b棒速度大小也相应改变了

1

3

v₁，即此时b棒速度大小为

1

3

v₁． 
两棒的速度大小随时间的变化图象大致如图所示：



通过图象分析可知，在t₁时间内，两棒运动距离之和为v₁t₁，所以在t₁时间内b棒向左运动的距离为△S=（v₁t₁-d），
距离磁场II左边界距离为
△L=

d

2

-△S=

3d

2

-v₁t₁．