Question

如图所示，在直角坐标系xoy的第一、四象限区域内存在两个有界的匀强磁场：垂直纸面向外的匀强磁场I、垂直纸面向里的匀强磁场II，O、M、P、Q为磁场边界和x轴的交点OM=MP=L．在第三象限存在沿y轴正向的匀强电场．一质量为m、带电荷量为+q的粒子从电场中坐标为（-2L，-L）的点以速度υ₀沿+x方向射出，恰好经过原点O处射入区域I又从M点射出区域I（粒子的重力忽略不计）．
（1）求第三象限匀强电场场强E的大小；
（2）求区域I内匀强磁场磁感应强度B的大小；
（3）如带电粒子能再次回到原点O，问区域II内磁场的宽度至少为多少？粒子两次经过原点O的时间间隔为多少？

Answer 1

（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，则有
水平方向：2L=v₀t
竖直方向：L=

1

2

qE

m

(

2L

v0

)2
联立解得，E=

m v 20

2qL

（2）设到原点时带电粒子的竖直分速度为v_y
则 vy=

qE

m

t=

qE

m

2L

v0

=v0
则粒子进入磁场时速度大小为 v=

2

v0，方向与x轴正向成45°
粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，由几何知识可得轨迹半径为 R1=

2

2

L
由洛伦兹力充当向心力，则有 Bqv=m

v2

R1

可解得：B=

mv

qR1

=

2mv0

qL

（3）粒子运动轨迹如图．
在区域Ⅱ做匀速圆周的半径为 R2=

2

L
带电粒子能再次回到原点的条件是区域Ⅱ的宽度d≥R2+L=(

2

+1)L
粒子从O到M的运动时间t1=

π 2 2 2 L

2 v0

=

πL

4v0

粒子从M到N的运动时间t2=

2 L

2 v0

=

L

v0

粒子在区域Ⅱ中的运动时间t3=

3π 2 2 L

2 v0

=

3πL

2v0

粒子两次经过原点O的时间间隔为t总=2(t1+t2)+t3=

2(1+π)L

v0

答：（1）第三象限匀强电场场强E的大小是

m v 20

2qL

；
（2）区域I内匀强磁场磁感应强度B的大小是

2mv0

qL

；
（3）如带电粒子能再次回到原点O，区域II内磁场的宽度至少为（

2

+1）L，粒子两次经过原点O的时间间隔为

2(1+π)L

v0

．