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    精英家教网 > 高中物理 > 题目详情
    如图所示，一辆质量为1.5kg的小车静止在光滑水平面上，一个质量为0.50kg的木块，以2.0m/s的速度水平滑上小车，最后与小车以相同的速度运动．小车上表面水平，木块与车上表面的动摩擦因数是0.20．g取10m/s2，求
    （1）木块与小车共同运动的速度的大小；
    （2）木块在小车上相对滑行的时间；
    （3）设小车与光滑水平面足够长，若水平面右端也有一高度与左端一样的平台，且小车与两边平台碰撞过程中均没有能量损失，求从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间及木块在小车上滑行的路程．
    分析：（1）根据运动过程中动量守恒即可求解；
    （2）根据动量定理即可求解；
    （3）分M与m的大小关系分两种情况进行讨论，根据动量守恒定律及动能定理求出滑动路程的通项，根据动量定理求出时间的通项，再结合数学知识即可求解．
    解答：解：（1）根据运动过程中动量守恒得：
    mv0=（M+m）v1
    解得：v1=
    m
    M+m
    v0    =0.5m/s
    （2）根据动量定理得：
    μmgt=Mv1-0
    t1=
    Mv0
    (M+m)μg
    =0.75s
    （3）若M＞m，从第一次木板以v1反弹开始，有
    Mv1-mv1=（M+m）v2
    Mv2-mv2=（M+m）v3…
    Mvn-1-mvn-1=（M+m）vn
    解得：
    v2=
    M-m
    M+m
    v    1
    v3=
    M-m
    M+m
    v    2
    …
    vn=
    M-m
    M+m
    v    n-1    =(
    M-m
    M+m
    )    n-1
    m
    M+m
    v    0
    根据动能定理得：
    μmgx1=
    1
    2
    mv02-
    1
    2
    (M+m)v12
    μmgx2=
    1
    2
    mv12-
    1
    2
    (M+m)v22
    …
    μmgxn=
    1
    2
    mvn2-
    1
    2
    (M+m)vn-12
    解得：
    x1=
    M
    2μg(M+m)
    v    0    2
    x2=
    2M
    μg(M+m)
    v    1    2
    x3=
    2M
    μg(M+m)
    v    2    2    =
    2M
    μg(M+m)
    (
    M-m
    M+m
    )    2    v    1    2

    xn=
    2M
    μg(M+m)
    v    n-1    2    =
    2M
    μg(M+m)
    (
    M-m
    M+m
    )    2(n-2)    v    1    2

    x2，x3，x4，…xn是一个首项为
    2M
    μg(M+m)
    v
    2
    1

    公比为(
    M-m
    M+m
    )    2     的等比数列，共有n-1项
    Sn=x1+
    2M
    μg(M+m)
    v
    2
    1
    n
    n=2
    (
    M-m
    M+m
    )    2(n-2)
    =x1+
    2M
    μg(M+m)
    v
    2
    1
    ?
    1-(
    M-m
    M+m
    )    2(n-1)
    1-(
    M-m
    M+m
    )    2

    =
    M
    2μg(M+m)
    v
    2
    0
    +
    2M
    μg(M+m)
    v
    2
    1
    ?
    1-(
    M-m
    M+m
    )    2(n-1)
    1-(
    M-m
    M+m
    )    2

    =
    M
    2μg(M+m)
    v
    2
    0
    +
    2M
    μg(M+m)
    ?(
    m
    M+m
    )    2
    v
    2
    0
    ?
    1-(
    M-m
    M+m
    )    2(n-1)
    1-(
    M-m
    M+m
    )    2

    =
    M
    v
    2
    0
    2μg(M+m)
    +
    m
    v
    2
    0
    2μg(M+m)
    ?[1-(
    M-m
    M+m
    )    2(n-1)    ]
    在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
    -μmgt2=Mv2-Mv1
    -μmgt3=Mv3-Mv2…
    -μmgtn=Mvn-Mvn-1
    t2=
    2M
    μg(M+m)
    v    1
    t3=
    2M
    μg(M+m)
    v    2    =
    2M
    μg(M+m)
         ?
    M-m
    M+m
    v    1
    tn=
    2M
    μg(M+m)
    v    n-1    =tn=
    2M
    μg(M+m)
         ?(
    M-m
    M+m
    )    n-2    v    1

    t2，t3，t4，…tn是一个首项为
    2M
    μg(M+m)
    v1     公比为 (
    M-m
    M+m
    )     的等比数列，共有n-1项
    tn=t1+
    2M
    μg(M+m)
    v1
    n
    n=2
    (
    M-m
    M+m
    )    n-2    =t1+
    2M
    μg(M+m)
    v1?
    1-(
    M-m
    M+m
    )    (n-1)
    1-(
    M-m
    M+m
    )

    =
    Mv0
    (M+m)μg
    +
    2M
    μg(M+m)
    v1?
    1-(
    M-m
    M+m
    )    (n-1)
    1-(
    M-m
    M+m
    )

    =
    Mv0
    (M+m)μg
    +
    2M
    μg(M+m)
    ?
    m
    M+m
    v0?
    1-(
    M-m
    M+m
    )    (n-1)
    1-(
    M-m
    M+m
    )

    =
    Mv0
    μg(M+m)
    ?[2-(
    M-m
    M+m
    )    (n-1)    ]
    同理可得：若M＜m，
    x2，x3，x4，…xn是一个首项为
    2M
    μg(M+m)
    v
    2
    1

    公比为(
    m-M
    m+M
    )    2     的等比数列，
    共有n-1项
    Sn=x1+
    2M
    μg(M+m)
    v
    2
    1
    n
    n=2
    (
    m-M
    m+M
    )    2(n-2)
    =x1+
    2M
    μg(M+m)
    v
    2
    1
    n
    n=2
    (
    m-M
    m+M
    )    2(n-2)
    =
    M
    2μg(M+m)
    v
    2
    0
    +
    2M
    μg(M+m)
    v
    2
    1
    ?
    1-(
    m-M
    m+M
    )    2(n-1)
    1-(
    m-M
    m+M
    )    2

    =
    M
    2μg(M+m)
    v
    2
    0
    +
    2M
    μg(M+m)
    ?(
    m
    M+m
    )    2
    v
    2
    0
    ?
    1-(
    m-M
    m+M
    )    2(n-1)
    1-(
    m-M
    m+M
    )    2

    =
    M
    v
    2
    0
    2μg(M+m)
    +
    m
    v
    2
    0
    2μg(M+m)
    ?[1-(
    m-M
    m+M
    )    2(n-1)    ]
    在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
    -μmgt2=mv2-mv1
    -μmgt3=mv3-mv2
    …
    -μmgtn=mvn-mvn-1
    t2=
    2m
    μg(m+M)
         v1
    t2=
    2m
    μg(m+M)
         v    2    =
    2m
    μg(m+M)
         ?
    m-M
    m+M
    v1
    所以tn=
    2m
    μg(m+M)
         v    n-1    =
    2m
    μg(m+M)
         ?(
    m-M
    m+M
    )    n-2    v1

    t2，t3，t4，…tn是一个首项为
    2m
    μg(m+M)
    v1    ，公比为 (
    m-M
    m+M
    )     的等比数列，共有n-1项
    tn=t1+
    2m
    μg(m+M)
    v1
    n
    n=2
    (
    m-M
    m+M
    )    n-2    =t1+
    2m
    μg(m+M)
    v1?
    1-(
    m-M
    m+M
    )    (n-1)
    1-(
    m-M
    m+M
    )

    =
    Mv0
    (M+m)μg
    +
    2m
    μg(m+M)
    v1?
    1-(
    m-M
    m+M
    )    (n-1)
    1-(
    m-M
    m+M
    )

    =
    Mv0
    (M+m)μg
    +
    2m
    μg(m+M)
    ?
    m
    M+m
    v0?
    1-(
    m-M
    m+M
    )    (n-1)
    1-(
    m-M
    m+M
    )

    =
    Mv0
    (M+m)μg
    +
    m2v0
    μgM(m+M)
    ?[1-(
    m-M
    m+M
    )    (n-1)    ]    ．
    答：（1）木块与小车共同运动的速度的大小为0.5m/s；
    （2）木块在小车上相对滑行的时间为0.75s；
    （3）从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间为
    Mv0
    μg(M+m)
    ?[2-(
    M-m
    M+m
    )    (n-1)    ]    或
    Mv0
    (M+m)μg
    +
    m2v0
    μgM(m+M)
    ?[1-(
    m-M
    m+M
    )    (n-1)    ]    ，木块在小车上滑行的路程为
    M
    v
    2
    0
    2μg(M+m)
    +
    m
    v
    2
    0
    2μg(M+m)
    ?[1-(
    M-m
    M+m
    )    2(n-1)    ]    或
    M
    v
    2
    0
    2μg(M+m)
    +
    m
    v
    2
    0
    2μg(M+m)
    ?[1-(
    m-M
    m+M
    )    2(n-1)    ]    ．
    点评：本题主要考查了动量守恒定律，动量定理，动能定理的应用，第三问要先求出通项，再结合数学知识求解，难度很大，要求较高．
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    mgsinθ+kmg
    mgsinθ+kmg
    ，上坡速度大小为
    P
    mgsinθ+kmg
    P
    mgsinθ+kmg
    ．

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    （2）如果汽车以10m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
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    （1）卡车制动时间；
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    （1）货箱运动的加速度；
    （2）卡车制动时间；
    （3）卡车在紧急刹车过程受到地面的阻力．

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