Question

14．有一台反作用汽艇的喷水式发动机，其进水孔面积为S₁=0.9m²，而出水孔面积S₂=0.02m²，求发动机的效率．

Answer 1

分析 设时间为△t，相对汽艇的速度为v，求出这段时间内水的体积，根据动能表达式求出动能，同理求出水喷出时的动能，根据动能定理求出发动机做的功，再根据动量定理及恒力做功公式求出有效功，从而求出发动机的效率．

解答 解：在△t时间内发动机吸收的水的体积为V=vS₁△t，（其相对汽艇的速度为v），
则动能为${E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}ρ{S}_{1}{v}^{3}△t$
水喷出的速度为u，则其动能为${E}_{K}′=\frac{1}{2}（ρ{S}_{1}{v}^{\;}△t）{u}^{2}$
因为水不可压缩，则有vS₁△t=μS₂△t，由此得：$u=\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}v$，${E}_{K}′=\frac{1}{2}ρ\frac{{{S}_{1}}^{3}}{{{S}_{2}}^{3}}{v}^{3}△t$，
由此可得发动机所做的功为W=${E}_{K}′{-E}_{K}=\frac{1}{2}ρ\frac{{S}_{1}（{{S}_{1}}^{2}-{{S}_{2}}^{2}）}{{{S}_{2}}^{2}}{v}^{3}△t$
而有效功为W′=Fv△t，（F为对汽艇的反作用力）
F=$\frac{mu-mv}{△t}=ρ{v}^{2}{S}_{1}\frac{{S}_{1}-{S}_{2}}{{S}_{2}}$
则$W′=ρ{v}^{3}{S}_{1}\frac{{S}_{1}-{S}_{2}}{{S}_{2}}△t$
所以效率$η=\frac{W′}{W}=\frac{2{S}_{1}}{{S}_{1}+{S}_{2}}=4.3%$
答：发动机的效率为4.3%．

点评 本题主要考查了动能定理、动量定理及恒力做功公式得直接应用，知道发动机的效率等于有效功与总功的比值，难度较大．