Question

（16分）用图所示的水平传送带AB和斜面BC将货物运送到斜面的顶端。传送带AB的长度L=11m，上表面保持匀速向右运行，运行的速度v=12m/s。传送带B端靠近倾角q=37°的斜面底端，斜面底端与传送带的B端之间有一段长度可以不计的小圆弧。在A、C处各有一个机器人，A处机器人每隔Dt=1.0s将一个质量m=10kg的货物箱（可视为质点）轻放在传送带A端，货物箱经传送带和斜面后到达斜面顶端的C点时速度恰好为零，C点处机器人立刻将货物箱搬走。已知斜面BC的长度s=5.0m，传送带与货物箱之间的动摩擦因数μ₀=0.55，货物箱由传送带的右端到斜面底端的过程中速度大小损失原来的，g=10m/s²（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：

（1）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ；

（2）从第一个货物箱放上传送带A端开始计时，在t₀=3.0 s的时间内，所有货物箱与传送带的摩擦产生的热量Q；

（3）如果C点处的机器人操作失误，未能将第一个到达C点的货物箱搬走而造成与第二个货物箱在斜面上相撞。求两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离。（本问结果可以用根式表示）

 

Answer 1

（16分）（1）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，根据牛顿第二定律有

μ₀ mg =ma₀

解得                 a₀=μ₀ g=5.5m/s²                                      (2分)

由运动学公式       v₁²=2 a₀L

解得货物箱运动到传送带右端时的速度大小为      v₁=11m/s

货物箱刚冲上斜面时的速度       v₂=(1－)v₁=10m/s

货物箱在斜面上向上运动过程中      v₂²=2 a₁s

解得                         a₁=10m/s²                                   (2分)

根据牛顿第二定律       mgsinq+mmgcosq=ma₁

解得                     m=0.5                                       (2分)

（2）3.0s内放上传送带的货物箱有3个，前2个已经通过传送带，它们在传送带上的加速时间t₁= t₂=2.0s；第3个还在传送带上运动，其加速时间 t₃=1.0s。

前2个货物箱与传送带之间的相对位移    

Ds=v t₁-v₁t₁=13m

第3个货物箱与传送带之间的相对位移

Ds¢=vt₃-v₁t₃=9.25m                          (2分)

前2个货物箱与传送带摩擦产生的总热量为

Q₁=2μ₀ mgDs =1430J               

第三个货物箱与传送带摩擦产生的热量为：

Q₂=μ₀ mgDs¢ =508.75J。                         (2分)

总共生热            Q＝Q₁+Q₂＝1938.75J。                           (2分)

（3）货物箱由A运动到B的时间为2.0s，由B运动到C的时间为1.0s，可见第一个货物箱冲上斜面C端时第二个货物箱刚好冲上斜面。

货物箱沿斜面向下运动，根据牛顿第二定律有

mgsinq-mmgcosq=ma₂

解得加速度大小                a₂=2.0m/s²                                 (1分)

设第一个货物箱在斜面C端沿斜面向下运动与第二个货物箱相撞的过程所用时间为t，有                      v₂ t -a₁t ²+a₂t ²=s

解得                   s ≈ 0.69 s                               (1分)

两个货物箱在斜面上相遇的位置到C端的距离

s₁ =a₂t ²=m ≈ 0.48 m                     (2分)