Question

如图所示用某种透明材料制成一块等腰直角棱镜，其顶点为A、B、C，使光线从AB面入射，调整到入射角θ取某个特殊值，恰能使它射入棱镜后在AC面上满足全反射临界条件．试求此材料的折射率n的大小．

Answer 1

依题意画光路图，设光从AB面进入棱镜的入射角为θ时，对应的折射角为θ₁，折射光线DE射到AC界面时入射角为θ₂，此时光线恰沿AC面射出．
设折射率为n，在△ADE中，（90°-θ₁）+（90°-θ₂）+45°=180°，得θ₁=45°-θ₂ sinθ1=sin(45°-θ2)=sin45°cosθ2-cos45°sinθ2=

1

2

(cosθ2-sinθ2)
据题意sinθ2=

1

n

，则 cosθ2=

1-sin2θ2

=

n2-1

n

所以sinθ1=

1

2

(

n2-1

n

-

1

n

)=

1

n 2

(

n2-1

-1)①
据折射率定义式得n=

sinθ

sinθ1

②
由①②二式解得：n=

( 2 sinθ+1)2+1

答：此材料的折射率n的大小为

( 2 sinθ+1)2+1

．