Question

两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有相同的动摩擦因数u，导轨电阻不计，回路总电阻为2R，整个装置处于磁感应强大小为B₀、方向竖直向上的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以某一速度向下做匀速运动．设运动过程中金属细杆ab，cd与导轨接触良好，重力加速度为g．求：
（1）ab杆匀速运动的速度v₁．
（2）ab杆以v₁匀速运动时，cd秆以v₂（v₂已知）匀速运动，则在cd杆向下运动h的过程中，整个回路中产生的焦耳热．
（3）ab杆以v₁匀速运动至ab杆距竖直导轨L₁时，保持拉力不变，磁感应强度开始随时间发生变化，使ab杆做加速度为

g

u

的匀加速运动，试推导磁感应强度B随时间t变化的关系式．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律，求出感应电动势大小，由欧姆定律求得感应电流，即得到ab所受的安培力大小；再由左手定则，来判定安培力的方向，根据受力平衡，即可求解ab杆匀速运动的速度v₁．
（2）根据ab杆匀速运动，可求出运动的距离；再由整个过程中运用能量守恒，可得出，焦耳热等于克服安培力所做的功，即可求解整个回路中产生的焦耳热．
（3）ab杆做加速度为

g

u

的匀加速运动时，根据牛顿第二定律得到F与加速度a的关系式，要使ab杆做匀加速运动，安培力必须为零，回路的磁通量应不变，根据磁通量不变列式，即可得到B与t的关系式．

解答：解：（1）ab杆向右运动时，产生的感应电动势方向为a→b，大小为E=BLv₁ ①
cd杆中的感应电流方向为d→c，大小 I=

E

2R

．②
cd杆受到的安培力方向水平向右，大小为F_安=BIL ③
cd杆向下匀速运动，有mg=μF_安  ④
解①、②、③、④式得，ab杆匀速运动的速度为v₁=

2mgR

μB2L2

（2）设cd杆以v₂速度向下运动h过程中，ab杆匀速运动了s距离
则

s

v1

=

h

v2

．
整个回路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功Q=F_安s
得 Q=

2(mg)2hR

μ2v2B2L2

（3）ab杆、cd杆匀速运动时，有 F=μmg+F_安 ⑤
由④⑤得，F=(μ+

1

μ

)mg
ab杆做匀加速运动时，有 F-μmg-F′_安=ma
要使a恒定，必须满足F′_安=0，感应电流为零，回路的磁通量应不变，△Φ=0
则有 B₀IL₁=BL（L₁+v1t+

1

2

at2）
解得，B=

B0L1

L1+ IRmg μB2L2 + g 2μ t2

答：
（1）ab杆匀速运动的速度v₁为

2mgR

μB2L2

．
（2）在cd杆向下运动h的过程中，整个回路中产生的焦耳热为

2(mg)2hR

μ2v2B2L2

．
（3）磁感应强度B随时间t变化的关系式为B=

B0L1

L1+ IRmg μB2L2 + g 2μ t2

．

点评：考查法拉第电磁感应定律、左手定则、平衡方程、能量守恒定律等规律的应用，强调受力分析的正确性，同时突出克服安培力所做的功等于产生的焦耳热．