高中毕业班质量检查数学(理科)试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 如果事件A、B相互独立，那么P(A.B)=P(A).P(B)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率　　　　　　　　　 球的表面积公式　 ，其中R表示球的半径 球的体积公式　　参考答案

高中毕业班质量检查数学(理科)试题参考答案

说明：

　　　 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后断部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答给分数的一半；如果后继部分的解答在较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1,3,5

1．D　　　 2．A　　　 3．D　　　 4．D　　　 5．C　　　 6．C　　　

7．B　　　 8．C　　　 9．C　　　 10．D　　 11．C　　 12．C

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．8　　　 14．2　　　 15．　　　 16．(1，1)，(2，2)，(3，4)，(4，8)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答。

17．本小题主要考查向量的数量积、三角形面积、有关三角函数的基本知识，以及基本的计算能力，满分12分。

　　　 解：(1)，　　　　　　　　　　　　　　　 ①…………………2分

　　　 又，

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②……………… 4分

　　　 由①、②得　……………………………………………………… 6分

　　 (2)

　　　 　……………………………………………………………… 8分

　　　 　…………………………………………………………………… 10分

　　　 　

　　　 　……………………………………………………………………………12分

18．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率、统计知识分析解决实际问题的能力，满分12分。

　　　 解：(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，

　　　 则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3 ………………………………2分

　　　 ，

　　　 ,

　　　

　　　 ∴考生甲正确完成题数的概率分布列为：

ξ	1	2	3
P

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………………4分

　　　　 ………………………………………………5分

　　　　　　　　　　 ，

同理：

方法一：∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：

η	0	1	2	3
P

……………………………………………………………………………7分

　…………………………………… 8分

方法二：同方法一得考乙正确完成题数的概率分布列为：

η	0	1	2	3
P

　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………………………………………7分

∴考生乙做对题数η服从二项分布，

因此，　…………………………………………………………8分

　　 (2)，

　　 (或)

，

　 ，

　

从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………………12分

　　 (第(2)问4分的安排说明：①依据期望说明两人水平相当，得1分；②计算方差、依据方差说明甲稳定性好，得1分；③依据通过的概率说明甲通过的可能性大，得1分；④给出结论：甲的实验操作能力较强，再给1分，如果只回答①、②、④，也给4分)

19．本小题主要考查面关系，异面直线所成的角以及点到平面距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力。满分12分。

解法一：

　　 (1)证明：取AB中点H，连结GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH∥AD∥EF，

∴E，F，G，H四点共面. ……………………1分

又H为AB中点，

∴EH∥PB. ……………………………………2分

又EH面EFG，PB平面EFG，

∴PB∥平面EFG. ………………………………3分

　　 (2)解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，

∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD

所成的角.………………4分

　　　　 在Rt△MAE中， ，

　　　　 同理，…………………………5分

又GM=，

∴在△MGE中，

………………6分

故异面直线EG与BD所成的角为arccos，………………………………7分

　　 (3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，

过点Q作QR⊥AB于R，连结RE，则OR∥AD，

∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA.

又AB∩PA=A,

∴AD⊥平面PAB. ……………………………………8分

又∵E，F分别是PA，PD中点，

∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.

又EF面EFQ，

∴面EFQ⊥面PAB. …………………………………9分

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥平面EFQ，

∴AT就是点A到平面EFQ的距离. ……………………………………………10分

设，

　　　 在， …………………………11分

　　　 解得

　　　 故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为0.8. ……………………… 12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，

P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).

　　 (1)证明：

　　　 　…………………………1分

　　　 设，

　　　 即，

　　　

　　　 　……………2分

　　　 ，

　　　 ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 3分

　　 (2)解：∵,…………………………………………4分

　　　 ，……………………… 6分

故异面直线EG与BD所成的角为arcos.…………………………………… 7分

　　 (3)解：假设线段CD上存在一点Q满足题设条件，

　　　 令

　　　 ∴点Q的坐标为(2－m，2，0)，

　　　 　………………………………………………………………8分

　　　 而，

　　　 设平面EFQ的法向量为，则

　　　

　　　

　　　 令， ……………………………………………………9分

　　　 又，

　　　 ∴点A到平面EFQ的距离，……………10分

　　　 即，

　　　 不合题意，舍去.

　　　 故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为0.8. ……………………12分

20．本小题主要考查等差数列、递推规律的基本知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力，满分12分。

　　　 解：(1)由题意规律，编号为2的同学看到的像是(6，8)；

　　　 编号为3的同学看以的像是(8，11) ……………………………………………4分

　　 (2)设编号为n的同学看到的像是(b_n，a_n)，

　　　 由，

　　　 　……………………………………………………………… 5分

　　　 由题意，　　 　………………………………6分

　　　

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　 　…………………………………………………… 9分

　　　　　　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　

　　　　　　　 　……………………………………………………11分

　　　 经检验n =1时，上式也成立

　　　 ∴编号为n的同学看到的像是　…………………… 12分

21．本小题主要考查双曲线的定义与方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系、两直线垂直等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分。

　　　 解：(1)由知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为…………3分

　　 (2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，

　　　

　　　 解得k² >3 ………………………………………………………………………………5分

　　 (i)

　　　

　　　 ，

　　　 故得对任意的

　　　 恒成立，

　　　

　　　 ∴当m =－1时，MP⊥MQ.

　　　 当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，

　　　 综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ……………………………………………………8分

　　 (ii)是双曲线的右准线，……………………………9分

　　　 由双曲线定义得：，

　　　 方法一：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　………10分

　　　 ，…………………………………………11分

　　　 注意到直线的斜率不存在时，，

　　　 综上，　………………………………………………………………12分

　　　 方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

　　　 ，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则

　　　 　…………10分

　　　 由

　　　 故：　………………12分

22．本小题主要考察函数、导数、方程、不等式

等知识以及综合分析能力，满分14分。

解：………1分

　　 (1)是函数f(x)的两个极值点，

　　　 ………………………………………………………………2分

　………………………3分

　…………………………………………………………4分

　　 (2)∵x₁、x₂是 f(x)是两个极值点，

∴x₁、x₂是方程的两根.

∵△= 4b² + 12a³，　 ∴△>0对一切a > 0，恒成立.

　……………………6分

由　………………7分

　………………………………………… 8分

令

在(0，4)内是增函数；

　 ∴h (a)在(4，6)内是减函数.

∴a = 4时，h(a)有极大值为96，上的最大值是96，

∴b的最大值是　…………………………………………………………………10分

　　 (3)证法一：∵x₁、x₂是方程的两根，

，…………………………………………………… 11分

　………… 12分

　……………………………………14分

证法二：∵x₁、x₂是方程的两根，

.…………………………………………………… 11分

∵x₁ < x < x₂，

　………………………………………………… 12分

　　　　　　　

……………………………………………14分