高考数学复习-直线与圆练习试题 第Ⅰ卷　 (选择题　 共40分)参考答案

直线与圆练习参考答案

1.C　 方法1　 设直线l为y=kx+b，分别与y=1，x-y-7=0联立解得P (-,1)，Q (，).由PQ中点为(1，-1)，∴，且1+＝-2，∴k=-，故选C.

方法2　 设P (a,1)，Q (b+7,b)，因PQ的中点为(1，-1)，

∴，解得，故P为(-2,1),Q为(4，-3)，

∴,故选C.

2.C　 如图，＝=2.

要求的最小值，只需求|PO|的最小值即可.

第2题图解

，∴，故选C.

3.C　 如图，设直线y=ax的倾斜角为α,

则α≠,∴|α-|<,

∴<α<,且α≠.a=tanα∈(,1)∪(1,).

4.A　 应用点到直线的距离公式,选A.

		第5题图解
	第3题图解

　

5.B　 如图，设围成四边形为OABC，因OABC有外接圆，且∠AOC＝90°，故∠ABC＝90°.

∴两条直线x+3y-7=0,kx-y-2=0互相垂直，(-).k=-1，即k=3，故选B.

说明　 运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.

6.D　 如图，设l:4x-3y+25=0，与l平行且距离等于1的直线为4x-3y+b=0.

∴或b=30.

:4x-3y+20=0，:4x-3y+30=0.

第6题图解

圆心(0，0)到和的距离分别为=4，=6.

故满足条件的r取值范围(4，6).

实际上，圆没有点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，

则0<r<4，若圆上只有一点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，

则r=4，类似可求出圆上有三点、四点到直线的距离等于1

的r的取值范围.

7.A　 由,可得⊥,∴选A.

第8题图解

8.A　 方法1　 设切点为A、B，则AB⊥OP，

∵，∴.故排除B、C.

又由图可知，AB在y轴的截距为负，故排除D，所以选A.

方法2　 设A(，)，B(，)，

由AP⊥OA可得.=-1，

即.∴，又,

∴.

同理可得，∴AB直线为-4x+y+4=0，即4x-y-4=0.

方法3　 设A(，)，B(，)，则切线PA为，.

∴,，∴A、B在直线4x-y-4=0上.

另:此题可推广到一般结论，若P (,)为圆　(r>0)外一点，过P引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为.

9.A　 直线方程为，则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为d=，又因截得弦长恰好等于圆的半径，故d=r,∴|a-b|=r，故选A.

10.B　 方法1　 将y=kx+1代入中有.

设交点为 A(，)，B(，)，∵A、B关于y轴对称，∴，

∴k=0.故选B.

方法2　 因直线与圆的两个交点A(，)，B(，)关于y轴对称

∴,,故圆心在y轴上，∴k=0，故选B.

11.x-y-1=0　 P、Q关于直线l对称，故=-1且PQ中点在l上，

∴，又PQ中点为(,)，

∴l的方程为y-＝x-，即x-y-1=0.此题也可将a,b赋特殊值去求直线l.

12.2x+y-3=0　 由圆的几何意义知该直径与直线x-2y-3=0垂直.故该直径方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.

13.{k|k>1或k=0或k<-1}　 画出函数y=kx+1、y=的图象，两曲线相切及只有一个交点时如图所示.

	第13题图解

　

14.　 设圆的方程为经过P(-2,4)，

∴，

∴λ=-2，∴所求的圆的方程为.

15.解　 由、相交，需1.a-1.1≠0,得a≠1，此时解方程组,

可解得　即、的交点为(-1-a,1),由、相交,

需1.1-1.a≠0,∴a≠1,由,相交，需1.1-a.a≠0,∴a≠±1,又(-1-a,1),

∴a.(-1-a)+1+1≠0,得a≠1且a≠-2,

综上所述，a∈R且a≠±1且a≠-2,能保证三交点(-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+)互不重合，所以所求a的范围为a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).

16.解　 由已知条件知P为直线3x-y-4=0和直线x+2y+1=0的交点,联立两直线方程得

，∴.∴P点为(1，-1).

又l与垂直，故l的方程为y+1=2(x-1)，即l的方程为2x-y-3=0.

17.解　 设P(x,y),则Q(18-x,-y),记P点对应的复数为x+yi,

则S点对应的复数为:(x+yi).i=-y+xi,即S(-y,x),

∴|SQ|=

　　　　　　　　 =

其中可以看作是点P到定点B(9,-9)的距离，其最大值为|MB|+r=2+1，最小值为|MB|-r=2-1,则|SQ|的最大值为2+,|SQ|的最小值为2-.

18.解　 方法1　 如图，设P(,)(>0)，Q(x,y).

第18题图解

∵OQ为∠AOP的平分线，∴，

∴Q分PA的比为.

∴即.

又因，且>0，∴.

∴Q的轨迹方程为(y>0).

方法2　 设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ=，

则OQ直线方程为y=x.tan=kx　　　　　　　 ①

，∴直线PA方程为y=(x-3)　　　　 ②

由Q满足①②且k=tan.

由②得y=.

消去k有y=，∴,由图知y>0.

故所求Q点轨迹方程为(y>0).

说明　 上述两种方程为求轨迹的基本方法、相关点及参数法.

第19题图解

19.解　 (1)如图，设⊙P的圆心P(x,y)，半径为R，

由题设，有|PA|=R+,|PB|=R+,∴|PA|-|PB|=2.

∴⊙P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长

为4的双曲线的右支，其方程为(x>0).

(2)由方程组，有(x>0).　　 ①

因为直线与双曲线有两个不同交点，

∴.从而，有.　 ∴-2<k<-.

(3)设的中点为M(、)，则=.

又M在y=kx+1上，∴=k+1=.

∴M(,).

∴的垂直平分线l的方程为:y-=-(x-),即y-=-(x-).

令x=0,得截距b=,k∈(-2,-),又-2<k<-,∴-1<3-<0.∴b<-4.

20.解　 假设存在这样的直线，设直线l方程为y=x+b.

方法1　 将y=x+b代入圆的方程有.

由题设知OA⊥OB,设A(，)，B(，)，

∴+＝0.

又＝(+b)(+b)=+b(+)+,∴2+b(+)+＝0.

又∵+=-(b+1)，＝2b-2+,

∴2(+2b-2)-b(b+1)+ =0.

∴b=1或b=-4.此时Δ＝，

∴存在这样的直线l:y=x+1或y=x-4满足题设.

方法2　 设过圆C与l的交点的圆系D为

即.

圆心为(-,-)，在直线y=x+b上，

∴-=-+b，即λ=3+b.　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又圆D过原点，∴bλ-4=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得，，即b=1或b=-4.

此时圆D的方程存在.故存在直线y=x+1或y=x-4.