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3.已知直线:y=x,:ax-y=0,其中a为实数,当这两直线的夹角θ∈(0,)时,a的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(,) C.(,1)∪(1,) D.(1,)
直线与圆练习参考答案
1.C 方法1 设直线l为y=kx+b,分别与y=1,x-y-7=0联立解得P (-,1),Q (,).由PQ中点为(1,-1),∴,且1+=-2,∴k=-,故选C.
方法2 设P (a,1),Q (b+7,b),因PQ的中点为(1,-1),
∴,解得,故P为(-2,1),Q为(4,-3),
∴,故选C.
2.C 如图,==2.
要求的最小值,只需求|PO|的最小值即可.
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3.C 如图,设直线y=ax的倾斜角为α,
则α≠,∴|α-|<,
∴<α<,且α≠.a=tanα∈(,1)∪(1,).
4.A 应用点到直线的距离公式,选A.
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5.B 如图,设围成四边形为OABC,因OABC有外接圆,且∠AOC=90°,故∠ABC=90°.
∴两条直线x+3y-7=0,kx-y-2=0互相垂直,(-).k=-1,即k=3,故选B.
说明 运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.
6.D 如图,设l:4x-3y+25=0,与l平行且距离等于1的直线为4x-3y+b=0.
∴或b=30.
:4x-3y+20=0,:4x-3y+30=0.
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故满足条件的r取值范围(4,6).
实际上,圆没有点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,
则0<r<4,若圆上只有一点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,
则r=4,类似可求出圆上有三点、四点到直线的距离等于1
的r的取值范围.
7.A 由,可得⊥,∴选A.
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∵,∴.故排除B、C.
又由图可知,AB在y轴的截距为负,故排除D,所以选A.
方法2 设A(,),B(,),
由AP⊥OA可得.=-1,
即.∴,又,
∴.
同理可得,∴AB直线为-4x+y+4=0,即4x-y-4=0.
方法3 设A(,),B(,),则切线PA为,.
∴,,∴A、B在直线4x-y-4=0上.
另:此题可推广到一般结论,若P (,)为圆 (r>0)外一点,过P引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为.
9.A 直线方程为,则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为d=,又因截得弦长恰好等于圆的半径,故d=r,∴|a-b|=r,故选A.
10.B 方法1 将y=kx+1代入中有.
设交点为 A(,),B(,),∵A、B关于y轴对称,∴,
∴k=0.故选B.
方法2 因直线与圆的两个交点A(,),B(,)关于y轴对称
∴,,故圆心在y轴上,∴k=0,故选B.
11.x-y-1=0 P、Q关于直线l对称,故=-1且PQ中点在l上,
∴,又PQ中点为(,),
∴l的方程为y-=x-,即x-y-1=0.此题也可将a,b赋特殊值去求直线l.
12.2x+y-3=0 由圆的几何意义知该直径与直线x-2y-3=0垂直.故该直径方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
13.{k|k>1或k=0或k<-1} 画出函数y=kx+1、y=的图象,两曲线相切及只有一个交点时如图所示.
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14. 设圆的方程为经过P(-2,4),
∴,
∴λ=-2,∴所求的圆的方程为.
15.解 由、相交,需1.a-1.1≠0,得a≠1,此时解方程组,
可解得 即、的交点为(-1-a,1),由、相交,
需1.1-1.a≠0,∴a≠1,由,相交,需1.1-a.a≠0,∴a≠±1,又(-1-a,1),
∴a.(-1-a)+1+1≠0,得a≠1且a≠-2,
综上所述,a∈R且a≠±1且a≠-2,能保证三交点(-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+)互不重合,所以所求a的范围为a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).
16.解 由已知条件知P为直线3x-y-4=0和直线x+2y+1=0的交点,联立两直线方程得
,∴.∴P点为(1,-1).
又l与垂直,故l的方程为y+1=2(x-1),即l的方程为2x-y-3=0.
17.解 设P(x,y),则Q(18-x,-y),记P点对应的复数为x+yi,
则S点对应的复数为:(x+yi).i=-y+xi,即S(-y,x),
∴|SQ|=
=
其中可以看作是点P到定点B(9,-9)的距离,其最大值为|MB|+r=2+1,最小值为|MB|-r=2-1,则|SQ|的最大值为2+,|SQ|的最小值为2-.
18.解 方法1 如图,设P(,)(>0),Q(x,y).
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∴Q分PA的比为.
∴即.
又因,且>0,∴.
∴Q的轨迹方程为(y>0).
方法2 设∠AOP=α,α∈(0,π),则P(cosα,sinα),∠AOQ=,
则OQ直线方程为y=x.tan=kx ①
,∴直线PA方程为y=(x-3) ②
由Q满足①②且k=tan.
由②得y=.
消去k有y=,∴,由图知y>0.
故所求Q点轨迹方程为(y>0).
说明 上述两种方程为求轨迹的基本方法、相关点及参数法.
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由题设,有|PA|=R+,|PB|=R+,∴|PA|-|PB|=2.
∴⊙P的圆心轨迹是实轴长为2,焦点在x轴上,且焦距长
为4的双曲线的右支,其方程为(x>0).
(2)由方程组,有(x>0). ①
因为直线与双曲线有两个不同交点,
∴.从而,有. ∴-2<k<-.
(3)设的中点为M(、),则=.
又M在y=kx+1上,∴=k+1=.
∴M(,).
∴的垂直平分线l的方程为:y-=-(x-),即y-=-(x-).
令x=0,得截距b=,k∈(-2,-),又-2<k<-,∴-1<3-<0.∴b<-4.
20.解 假设存在这样的直线,设直线l方程为y=x+b.
方法1 将y=x+b代入圆的方程有.
由题设知OA⊥OB,设A(,),B(,),
∴+=0.
又=(+b)(+b)=+b(+)+,∴2+b(+)+=0.
又∵+=-(b+1),=2b-2+,
∴2(+2b-2)-b(b+1)+ =0.
∴b=1或b=-4.此时Δ=,
∴存在这样的直线l:y=x+1或y=x-4满足题设.
方法2 设过圆C与l的交点的圆系D为
即.
圆心为(-,-),在直线y=x+b上,
∴-=-+b,即λ=3+b. ①
又圆D过原点,∴bλ-4=0. ②
由①②得,,即b=1或b=-4.
此时圆D的方程存在.故存在直线y=x+1或y=x-4.