高考数学复习数列测试题 第Ⅰ卷(选择题，共40分)参考答案

参考答案

1. D　 a_n=a+(n-1)(b-a)=0，n-1=是正整数.故选D.

2. A　 当b≠0时，a、b、c成等比数列b²=acb=±.

3.A　 {}也成等差，故一次函数过点(2，)，(5，).

4.Aa_n=5()^{2n – 2} -4()^{n –1} (n∈N^*)令u=()^n-1(n∈N^*)，则u=1，，，…则a_n=5.u²-4u.

如图，当u=1时a_n取得最大项，即第一项：x=1.

当u=时，a_n取得最小项，即第二项：y=2，则有x+y=3.故选A.

5.C法Ⅰ：考察函数f(x)=x+　(x>0)知，当且仅当x=时，f(x)有最小值，且当x>时单增，0<x<时单减，又12<<13，而f(12)=f(13)=25.故当n=12或13时，n+取最小值25，而an有最大值.

法Ⅱ：由　 得　即

∴1-2≤k≤13，即当n=12或13时，a_n最大.

点评：要确定数列最大项，一种思路是判定数列的单调性(比较a_n与a_n-1大小)，一种思路是借助函数的单调性及最值求法.

6.Ca_n=2^{10 – n} ，Π_n=2^{9+8+…+(10–n)}=.

7. A　 由题意分析知：a₁=1，a₂=3，a₃=9，a₄=27，则数列{a_n}可以是首项为a₁=1，公比q=3的等比数列，所以a_n=a₁.q^n-1=3^n-1.故选A.

8.B2007年1月1日，2006年1月1日，…，2002年1月1日存入钱的本息分别为：a(1+r)，a(1+r)²，…，a(1+r)⁶.相加即可.

9.-(-2)^n-1

10.　 a_n=S_n-S_n-1=n(n+1)，∴=-.

11. 　　设是题设的数表，它的第一行的数之和是a₁₁+a₁₂+…+a₁m=；

第n行的数之和为an₁+a_n2+…+a_nm=;

各列的数的和依次为，，…，.

设表中所有的数的和为S_nm，则S_nm=+ 　+…+　=［(a₁₁+a_n1)+(a₁₂+a_n2)+…+(a_1m+a_nm)］×

=［(a₁₁+a₁₂+a_1m)+(a_n1+a_n2+…+a_nm)×

=+×

=(a₁₁+a_1m+a_n1+a_nm)×=.

点评：本题为数列与矩阵结合题，要求所有数的和，只需根据等差数列前n项和公式S_n=，将所有数的和转化为已知条件四个角上的数的和s即可.

12.0.618　 从表中易推得第8年老芽数为21a，总芽数为34a.

事实上设老芽数为数列{a_n}，则知a_n+1=a_n+a_n-1.

点评：本题以菲波那契“兔子数列”及黄金分割为背景设计，可让学生感知数学应用无处不在，数学美无处不在.

13.解：(1)a_n=3n+2

(2)b_n==3.2ⁿ+2，则A_n=3(2+2²+…+2ⁿ)+2n=6(2ⁿ-1)+2n=6.2ⁿ+2n-6.

14.解：(1)设a₁=120，d=60，第n年后可以使绿化任务完成，则有S_n=120n+.60≥2640，解得n≥8.故到2010年底，可以使库区内25°以上的坡地全部绿化.

(2)到2010年造林数量为a₈=120+7×60=540(万亩)，

设到2010年木材总量为S，依题意有：

S=(120×1.2⁸+180×1.2⁷+240×1.2⁶+…+540×1.2)×0.1

=6(2×1.2⁸+3×1.2⁷+…+9×1.2)

则1.2S=6(2×1.2⁹+3×1.2⁸+…+9×1.2²)

两式相减，有：0.2S=6(2×1.2⁹+1.2⁸+1.2⁷+…+1.2²-9×1.2)

=6［2×1.2⁹+-10.8］=6(7×1.2⁹-18)

∴S=30(7×1.2⁹-18)≈543.6(万立方米)

答：到2010年底共有木材543.6万立方米.

点评：本题具有浓郁的时代特色，解答的过程不仅涉及抽象建模，等差、等比数列及错位相减求和等知识方法的应用，还能从中体会到数学的科学价值和人文价值.

15.解：(1)由已知得S_n=na+.2a=an²， =an.

∴A={(x，y)|y=ax，x∈N^*}.(a≠0)

由B={(x，y)|(x-2)²+y²=1，x，y∈R}知|x-2|≤1　 ∴1≤x≤3.

由A∩B≠ ，知集合B中x只能取1，2，3，又y≠0，∴x=2.

此时y=±1，由y=ax可求得a=±.　 故a的取值集合为{，-}.

(2)由(1)知点P可设为(n，n)，圆(x-2)²+y²=1的圆心M(2，0)，半径r=1.先求|PM|最小值.　 |PM|²=(n-2)²+3n²=4n²-4n+4=4(n-)²+3.

又n∈N^*，∴|PM|最小值为2(n=1).

故|PQ|_min=|PM|_min-r=2-1=1.

点评：本题在数列、函数、直线与圆、集合等知识交汇处立意，考查学生综合分析问

题能力，关键在于深刻理解离散函数y=ax，x∈N^*，连续函数y=ax，x∈R在与圆位置关系中的不同点.另外，可借助图象加以分析.

16. (1)令x₁=x₂=0，则f(0)≥2f(0)-2，∴f(0)≤2.又对任意x∈［0，1］，总有f(x)≥2，∴f(0)=2.

(2)任取x₁，x₂∈［0，1］且x₁<x₂，则0<x₂-x₁≤1，∴f(x₂-x₁)≥2.∴f(x₂)=f(x₂-x₁+x₁)≥f(x₂-x₁)+f(x₁)-2≥f(x₁)，∴f(x)的最大值为f(1)=3.

(3)∵S_n= -(a_n-3)(n∈N^*)，∴S_n-1= -(a_n-1-3)(n≥2)，

∴a_n= -a_n+a_n-1(n≥2).∴a_n=a_n-1(n≥2)，又∵a₁=1≠0，∴=(n≥2)，∴数列{a_n}是以1为首项，公比为的等比数列，∴a_n=.

当n=1时，f(a₁)=f(1)=3=+2-不等式成立.当n=2时，f(a₂)=f()，

∵f(1)=f(++)≥f()+f(+)-2≥3f()-4.∴f()≤.

∴f(a₁)+f(a₂)=f(1)+f()≤3+=+=+4-不等式成立.

假设n=k时，不等式成立，即f(a₁)+f(a₂)+…+f(a_k)≤+2k-，

则n=k+1时，f(a_k+1)=f()=f(++)≥3f()-4，∴f()≤f()+，f()≤f()+，k=1，2，…

∴f()≤f()++≤…≤f()+++…++≤　+2-=2+.

∴f(a₁)+f(a₂)+…+f(a_k)+f(a_k+1)≤+2k-+2+　=　+2(k+1)- .

∴n=k+1时，不等式成立.∴对n∈N^*，f(a₁)+f(a₂)+…+f(a_n)≤+2n-.

另法：只要证f(a_n)=f()≤　+2，然后累加即得.