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6.等比数列{an}中,a1=512,公比q=,用Πn表示它的前n项之积:Πn=a1.a2.….an,则Π1,Π2…中最大的是
A.Π12 B.Π11 C.Π9 D.Π8
参考答案
1. D an=a+(n-1)(b-a)=0,n-1=是正整数.故选D.
2. A 当b≠0时,a、b、c成等比数列b2=acb=±.
3.A {}也成等差,故一次函数过点(2,),(5,).
4.Aan=5()2n – 2 -4()n –1 (n∈N*)令u=()n-1(n∈N*),则u=1,,,…则an=5.u2-4u.
如图,当u=1时an取得最大项,即第一项:x=1.
当u=时,an取得最小项,即第二项:y=2,则有x+y=3.故选A.
5.C法Ⅰ:考察函数f(x)=x+ (x>0)知,当且仅当x=时,f(x)有最小值,且当x>时单增,0<x<时单减,又12<<13,而f(12)=f(13)=25.故当n=12或13时,n+取最小值25,而an有最大值.
法Ⅱ:由 得 即
∴1-2≤k≤13,即当n=12或13时,an最大.
点评:要确定数列最大项,一种思路是判定数列的单调性(比较an与an-1大小),一种思路是借助函数的单调性及最值求法.
6.Can=210 – n ,Πn=29+8+…+(10–n)=.
7. A 由题意分析知:a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,则数列{an}可以是首项为a1=1,公比q=3的等比数列,所以an=a1.qn-1=3n-1.故选A.
8.B2007年1月1日,2006年1月1日,…,2002年1月1日存入钱的本息分别为:a(1+r),a(1+r)2,…,a(1+r)6.相加即可.
9.-(-2)n-1
10. an=Sn-Sn-1=n(n+1),∴=-.
11. 设是题设的数表,它的第一行的数之和是a11+a12+…+a1m=;
第n行的数之和为an1+an2+…+anm=;
各列的数的和依次为,,…,.
设表中所有的数的和为Snm,则Snm=+ +…+ =[(a11+an1)+(a12+an2)+…+(a1m+anm)]×
=[(a11+a12+a1m)+(an1+an2+…+anm)×
=+×
=(a11+a1m+an1+anm)×=.
点评:本题为数列与矩阵结合题,要求所有数的和,只需根据等差数列前n项和公式Sn=,将所有数的和转化为已知条件四个角上的数的和s即可.
12.0.618 从表中易推得第8年老芽数为21a,总芽数为34a.
事实上设老芽数为数列{an},则知an+1=an+an-1.
点评:本题以菲波那契“兔子数列”及黄金分割为背景设计,可让学生感知数学应用无处不在,数学美无处不在.
13.解:(1)an=3n+2
(2)bn==3.2n+2,则An=3(2+22+…+2n)+2n=6(2n-1)+2n=6.2n+2n-6.
14.解:(1)设a1=120,d=60,第n年后可以使绿化任务完成,则有Sn=120n+.60≥2640,解得n≥8.故到2010年底,可以使库区内25°以上的坡地全部绿化.
(2)到2010年造林数量为a8=120+7×60=540(万亩),
设到2010年木材总量为S,依题意有:
S=(120×1.28+180×1.27+240×1.26+…+540×1.2)×0.1
=6(2×1.28+3×1.27+…+9×1.2)
则1.2S=6(2×1.29+3×1.28+…+9×1.22)
两式相减,有:0.2S=6(2×1.29+1.28+1.27+…+1.22-9×1.2)
=6[2×1.29+-10.8]=6(7×1.29-18)
∴S=30(7×1.29-18)≈543.6(万立方米)
答:到2010年底共有木材543.6万立方米.
点评:本题具有浓郁的时代特色,解答的过程不仅涉及抽象建模,等差、等比数列及错位相减求和等知识方法的应用,还能从中体会到数学的科学价值和人文价值.
15.解:(1)由已知得Sn=na+.2a=an2, =an.
∴A={(x,y)|y=ax,x∈N*}.(a≠0)
由B={(x,y)|(x-2)2+y2=1,x,y∈R}知|x-2|≤1 ∴1≤x≤3.
由A∩B≠ ,知集合B中x只能取1,2,3,又y≠0,∴x=2.
此时y=±1,由y=ax可求得a=±. 故a的取值集合为{,-}.
(2)由(1)知点P可设为(n,n),圆(x-2)2+y2=1的圆心M(2,0),半径r=1.先求|PM|最小值. |PM|2=(n-2)2+3n2=4n2-4n+4=4(n-)2+3.
又n∈N*,∴|PM|最小值为2(n=1).
故|PQ|min=|PM|min-r=2-1=1.
点评:本题在数列、函数、直线与圆、集合等知识交汇处立意,考查学生综合分析问
题能力,关键在于深刻理解离散函数y=ax,x∈N*,连续函数y=ax,x∈R在与圆位置关系中的不同点.另外,可借助图象加以分析.
16. (1)令x1=x2=0,则f(0)≥2f(0)-2,∴f(0)≤2.又对任意x∈[0,1],总有f(x)≥2,∴f(0)=2.
(2)任取x1,x2∈[0,1]且x1<x2,则0<x2-x1≤1,∴f(x2-x1)≥2.∴f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-2≥f(x1),∴f(x)的最大值为f(1)=3.
(3)∵Sn= -(an-3)(n∈N*),∴Sn-1= -(an-1-3)(n≥2),
∴an= -an+an-1(n≥2).∴an=an-1(n≥2),又∵a1=1≠0,∴=(n≥2),∴数列{an}是以1为首项,公比为的等比数列,∴an=.
当n=1时,f(a1)=f(1)=3=+2-不等式成立.当n=2时,f(a2)=f(),
∵f(1)=f(++)≥f()+f(+)-2≥3f()-4.∴f()≤.
∴f(a1)+f(a2)=f(1)+f()≤3+=+=+4-不等式成立.
假设n=k时,不等式成立,即f(a1)+f(a2)+…+f(ak)≤+2k-,
则n=k+1时,f(ak+1)=f()=f(++)≥3f()-4,∴f()≤f()+,f()≤f()+,k=1,2,…
∴f()≤f()++≤…≤f()+++…++≤ +2-=2+.
∴f(a1)+f(a2)+…+f(ak)+f(ak+1)≤+2k-+2+ = +2(k+1)- .
∴n=k+1时,不等式成立.∴对n∈N*,f(a1)+f(a2)+…+f(an)≤+2n-.
另法:只要证f(an)=f()≤ +2,然后累加即得.