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    高考数学复习-导数及其应用练习试题卷

    高考数学复习-导数及其应用练习试题卷参考答案

    导数练习100分参考答案

    一、选择题

    1.B　 设所求切线斜率为k,那么，k===12,所以，所求切线方程为

    y-8=12(x-2),整理得:y=12x-16.

    2.A　 设切点P(x,)，那么切线斜率k=y′|=.又因为切线过点O(0，0)，及点P，则k=,所以=.

    解得x=2.所以斜率k=.从而切线方程为:y=x.

    3.C

    4.A　 设P点坐标为,由导数几何意义可知：y′|=k=4,又因为y′|=x,

    所以x=±2,所以点P 坐标为.

    5.D　 设物体在时刻5时的瞬时速度为:v(5)= .

    6.C　 当圆半径变化t s时，圆面积为S=πr,那么圆面积变化速率为v=S′=2πr.r′;又因为r′=0.1 cm/s.从而r=10 cm时，v=2π×10×0.1 cm/s=2π cm/s.

    7.C　 设t s时刻圆面积为S，则S=πr,时刻t圆面积增加速率为S′,对应半径增加速率

    u=r′,S′=2πr.r′,此时S′=10π cm/s,r=20 cm.

    由10π=2π×20×r′,从而r′=　cm/s.

    8.C　 由导数的几何意义可知，曲线在P点处切线斜率k=y′,


    第9题图解
    　
    ∴20=y′|=n.()　　　　　　　　 ①

    然后采用试值法，可知当n=5时满足方程①.

    9.D　 设光源S运动路程为l,则SB＝l=5t,此时影子Q运动路

    程为x=AQ,又由于△APQ∽△BPS(如图).

    从而,.

    ∴,∴x=25t,从而影子Q运动速率为v=x′=25.

    10.B　 点M的运动方程为x=rcost,那么点M的运动速率v=x′=-rsint.

    二、填空题

    11.　 分析　 从y′=1入手，写出两切线的方程.

    解　 y=-x+x+2x,∴y′=-3x+2x+2.所求直线与直线y=x平行.∴k=1.

    命y′=1,即3x-2x-1=0,(3x+1)(x-1)=0,x=-或1,x=-时,

    y=-(-)+-=-,x=1时,y=-1+1+2×1=2.

    故切点为A,B(1,2)切线方程为:l:y+=x+,即x-y-=0,l:y-1=x-2,

    即x-y+1=0,两切线间的距离为:d==.

    12.S′=-2esin(ωt+φ)+ωecos(ωt+φ).

    S′=(e)′sin(ωt+φ)+e(sin(ωt+φ))′=-2esin(ωt+φ)+eωcos(ωt+φ).

    13.　 由y′=得P(x,y)的切线斜率k=,

    P点的法线斜率k=-,

    ∴法线方程为y-y=-2(x-x),令y=0得x=,

    即Q的横坐标为,|RQ|=|x-x|===.

    点评　 有关曲线切线的问题，一般都可用导数的几何意义完成，曲线在某一定点处的切线是惟一的，因此斜率也是惟一的(若存在的话)，采用斜率相等这一重要关系，往往都可解决这类问题.

    14.(0,-a),　 ∵y′=2x,y′|=2a,

    ∴l:y-a=2a(x-a),令x=0得y=-a,

    ∴Q(0,-a),由k=2a=tan(90°-30°)=,∴a=.

    三、解答题

    15.分析　 根据题目条件可列出多个不等式，但要用它们解出全部4个未知系数是困难的，问题在于，要回答本题的两个问题，是否必须求出所有的未知系数，想到这里，便会豁然开朗.

    解　 f ′(x)=3x-2ax,f ′(1)=3-2a

    ∵切线斜率为1,∴3-2a=1,a=1

    3x-2ax=3x-2x

    令3x-2x=1,x=1或-

    故已知曲线斜率为1的切线有两条.

    因为A在曲线上，∴c=1-1+b=b,

    过点A的切线为y-c=x-1,即y=x+c-1,∴d=c-1.

    当x=-时，y=(-)-(-)+c,

    故相应切点为(-,c-).

    切线方程为y-(c-)=x+,即y=x+c+.

    两直线间距离为.

    16.解　 (1)函数y=x+2x的导数y′=2x+2,曲线C在点P(x,x+2x)处的切线方程是

    y-(x+2x)=(2x+2)(x-x)

    即y=(2x+2)x-x　　　　　　　　　　 ①

    函数y=-x+a的导数y′=-2x.

    曲线C2在点Q(x,-x+a)处的切线方程是y-(-x+a)=-2x(x-x)

    即y=-2xx+x+a　　　　　　　　　　　　 ②

    如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是直线l的方程，

    所以：

    消去x，得2x+2x+1+a=0

    若Δ=4-8(1+a)=0,即a=-，得x=-，x=-,

    ∴P(-,-)、Q(-,-)，P与Q重合，所以：当a=-时，C与C只有一条公切线，

    公切线方程是：y=x-.

    (2)由(1)知：当

    Δ=4-8(1+a)>0即a<-时，P与Q不重合，此时C与C有两条公切线.

    设一条公切线上的切点为P(x,y)、Q(x,y)，其中P∈C，Q∈C，则x+x=-1

    y+y=(x+2x)+(-x+a)=x+2x-(x+1)+a=a-1

    线段PQ的中点E.

    同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是.

    ∴当C与C有两条公切线时，相应的两公切线段相互平分.

    点评　 本题把导数与二次曲线位置关系融为一体，重在考查用导数的几何意义分析问题解决问题的能力.

    17.解　 (1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f ′(x)=-1=-.

    由f ′(x)<0及x>-1得x>0.∴当x∈(0,+∞)时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).

    (2)由(1)知，当x∈(-1,0)时，f ′(x)>0;当x∈(0,+∞)时，f ′(x)<0.

    因此，当x>-1时，f(x)≤f(0)，即ln(x+1)-x≤0.

    ∴ln(x+1)≤x.令g(x)=ln(x+1)+-1,

    则g′(x)=-.

    当x∈(-1,0)时，g′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0.

    ∴当x>-1时，g(x)≥g(0),即ln(x+1)+-1≥0,

    ∴ln(x+1)≥1-.

    综上可知，当x>-1时，有1-≤ln(x+1)≤x.

    18.解　 (1)由图可知s=OC+CB.由三角函数定义可知：OC=rcosωt,CA=rsinωt,

    所以，CB=,从而，

    s=rcosωt+,此为滑块运动方程.

    (2)s关于时间t的导数s′就是滑块运动速率v即

    v=st′=(rcosωt+)′=-rωsinωt+,

    v=-rωsinωt-

    19.解　 (1)s1′=v,s2′=at+v

    s为匀速直线运动，速度为v;s为匀加速直线运动，加速度为a.

    (2)s′=2πcos2πt.令s′=0,

    即cos2πt=0,得2πt=kπ+,t=+.