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7.一圆面以10π cm/s的速率增加,那么当圆半径r=20 cm 时,其半径r的增加速率u为 ( )
A. cm/s B. cm/s C. cm/s D. cm/s
导数练习100分参考答案
一、选择题
1.B 设所求切线斜率为k,那么,k===12,所以,所求切线方程为
y-8=12(x-2),整理得:y=12x-16.
2.A 设切点P(x,),那么切线斜率k=y′|=.又因为切线过点O(0,0),及点P,则k=,所以=.
解得x=2.所以斜率k=.从而切线方程为:y=x.
3.C
4.A 设P点坐标为,由导数几何意义可知:y′|=k=4,又因为y′|=x,
所以x=±2,所以点P 坐标为.
5.D 设物体在时刻5时的瞬时速度为:v(5)= .
6.C 当圆半径变化t s时,圆面积为S=πr,那么圆面积变化速率为v=S′=2πr.r′;又因为r′=0.1 cm/s.从而r=10 cm时,v=2π×10×0.1 cm/s=2π cm/s.
7.C 设t s时刻圆面积为S,则S=πr,时刻t圆面积增加速率为S′,对应半径增加速率
u=r′,S′=2πr.r′,此时S′=10π cm/s,r=20 cm.
由10π=2π×20×r′,从而r′= cm/s.
8.C 由导数的几何意义可知,曲线在P点处切线斜率k=y′,
|
然后采用试值法,可知当n=5时满足方程①.
9.D 设光源S运动路程为l,则SB=l=5t,此时影子Q运动路
程为x=AQ,又由于△APQ∽△BPS(如图).
从而,.
∴,∴x=25t,从而影子Q运动速率为v=x′=25.
10.B 点M的运动方程为x=rcost,那么点M的运动速率v=x′=-rsint.
二、填空题
11. 分析 从y′=1入手,写出两切线的方程.
解 y=-x+x+2x,∴y′=-3x+2x+2.所求直线与直线y=x平行.∴k=1.
命y′=1,即3x-2x-1=0,(3x+1)(x-1)=0,x=-或1,x=-时,
y=-(-)+-=-,x=1时,y=-1+1+2×1=2.
故切点为A,B(1,2)切线方程为:l:y+=x+,即x-y-=0,l:y-1=x-2,
即x-y+1=0,两切线间的距离为:d==.
12.S′=-2esin(ωt+φ)+ωecos(ωt+φ).
S′=(e)′sin(ωt+φ)+e(sin(ωt+φ))′=-2esin(ωt+φ)+eωcos(ωt+φ).
13. 由y′=得P(x,y)的切线斜率k=,
P点的法线斜率k=-,
∴法线方程为y-y=-2(x-x),令y=0得x=,
即Q的横坐标为,|RQ|=|x-x|===.
点评 有关曲线切线的问题,一般都可用导数的几何意义完成,曲线在某一定点处的切线是惟一的,因此斜率也是惟一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题.
14.(0,-a), ∵y′=2x,y′|=2a,
∴l:y-a=2a(x-a),令x=0得y=-a,
∴Q(0,-a),由k=2a=tan(90°-30°)=,∴a=.
三、解答题
15.分析 根据题目条件可列出多个不等式,但要用它们解出全部4个未知系数是困难的,问题在于,要回答本题的两个问题,是否必须求出所有的未知系数,想到这里,便会豁然开朗.
解 f ′(x)=3x-2ax,f ′(1)=3-2a
∵切线斜率为1,∴3-2a=1,a=1
3x-2ax=3x-2x
令3x-2x=1,x=1或-
故已知曲线斜率为1的切线有两条.
因为A在曲线上,∴c=1-1+b=b,
过点A的切线为y-c=x-1,即y=x+c-1,∴d=c-1.
当x=-时,y=(-)-(-)+c,
故相应切点为(-,c-).
切线方程为y-(c-)=x+,即y=x+c+.
两直线间距离为.
16.解 (1)函数y=x+2x的导数y′=2x+2,曲线C在点P(x,x+2x)处的切线方程是
y-(x+2x)=(2x+2)(x-x)
即y=(2x+2)x-x ①
函数y=-x+a的导数y′=-2x.
曲线C2在点Q(x,-x+a)处的切线方程是y-(-x+a)=-2x(x-x)
即y=-2xx+x+a ②
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是直线l的方程,
所以:
消去x,得2x+2x+1+a=0
若Δ=4-8(1+a)=0,即a=-,得x=-,x=-,
∴P(-,-)、Q(-,-),P与Q重合,所以:当a=-时,C与C只有一条公切线,
公切线方程是:y=x-.
(2)由(1)知:当
Δ=4-8(1+a)>0即a<-时,P与Q不重合,此时C与C有两条公切线.
设一条公切线上的切点为P(x,y)、Q(x,y),其中P∈C,Q∈C,则x+x=-1
y+y=(x+2x)+(-x+a)=x+2x-(x+1)+a=a-1
线段PQ的中点E.
同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是.
∴当C与C有两条公切线时,相应的两公切线段相互平分.
点评 本题把导数与二次曲线位置关系融为一体,重在考查用导数的几何意义分析问题解决问题的能力.
17.解 (1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f ′(x)=-1=-.
由f ′(x)<0及x>-1得x>0.∴当x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).
(2)由(1)知,当x∈(-1,0)时,f ′(x)>0;当x∈(0,+∞)时,f ′(x)<0.
因此,当x>-1时,f(x)≤f(0),即ln(x+1)-x≤0.
∴ln(x+1)≤x.令g(x)=ln(x+1)+-1,
则g′(x)=-.
当x∈(-1,0)时,g′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0.
∴当x>-1时,g(x)≥g(0),即ln(x+1)+-1≥0,
∴ln(x+1)≥1-.
综上可知,当x>-1时,有1-≤ln(x+1)≤x.
18.解 (1)由图可知s=OC+CB.由三角函数定义可知:OC=rcosωt,CA=rsinωt,
所以,CB=,从而,
s=rcosωt+,此为滑块运动方程.
(2)s关于时间t的导数s′就是滑块运动速率v即
v=st′=(rcosωt+)′=-rωsinωt+,
v=-rωsinωt-
19.解 (1)s1′=v,s2′=at+v
s为匀速直线运动,速度为v;s为匀加速直线运动,加速度为a.
(2)s′=2πcos2πt.令s′=0,
即cos2πt=0,得2πt=kπ+,t=+.