由= +得M的坐标为(x,y), 由x₀,y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

+ =1 (x>1,y>2)　

(Ⅱ)| ²= x²+y²,　 y²= =4+ ,

∴²= x²－1++5≥4+5=9.且当x²－1= ,即x=>1时,上式取等号.

故的最小值为3.

8．(上海卷)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

(1)求证：“如果直线过点T(3，0)，那么＝3”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．(15班)

[解](1)设过点T(3,0)的直线交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).　　 ∴=3；

　　 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，

　　　　 由得

　　　　 又 ∵ ，

　　 ∴，

　　 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；

(2)逆命题是：设直线交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

　 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；

说明：由抛物线y²=2x上的点A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 满足=3，可得y₁y₂=－6，

或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).

9．(全国II)已知抛物线x²＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．

(Ⅰ)证明.为定值；

(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．(15班)

解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

将①式两边平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　y₁＝λ²y₂　 ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x₁(x－x₁)+y₁，y＝x₂(x－x₂)+y₂，即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．　 ……4分

所以.＝(，－2).(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以.为定值，其值为0．　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝＝

＝＝+．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|+|BF|＝y₁+y₂+2＝λ++2＝(+)²．

于是　S＝|AB||FM|＝(+)³，

由+≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

10．(山东卷)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.。(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.(15班)

解：设椭圆方程为

(Ⅰ)由已知得∴所求椭圆方程为 .

(Ⅱ)解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，解得

又由韦达定理得

原点到直线的距离

.

解法1：对两边平方整理得：(*)

　　　 　　 ∵，

　　　　　　　 　　　　　　　 整理得：

　　　　　　　 又，　　 　　　　 从而的最大值为，

此时代入方程(*)得　

所以，所求直线方程为：.

解法2：令，　　　　 则

　　　　　　　　　　 当且仅当即时，　 　　　 此时.　　　　　

　　 所以，所求直线方程为

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，

　　　　　　　 由解法一知且，

　　　　　　　 解法1：　 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　 下同解法一.

　　　　　　　 解法2：=

　　　　　　　 下同解法一.