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10.(山东卷)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为4.。(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当ΔAOB面积取得最大值时,求直线l的方程.(15班)
解:设椭圆方程为
(Ⅰ)由已知得∴所求椭圆方程为 .
(Ⅱ)解法一:由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为
由,消去y得关于x的方程:
由直线与椭圆相交于A、B两点,解得
又由韦达定理得
原点到直线的距离
.
解法1:对两边平方整理得:(*)
∵,
整理得:
又, 从而的最大值为,
此时代入方程(*)得
所以,所求直线方程为:.
解法2:令, 则
当且仅当即时, 此时.
所以,所求直线方程为
解法二:由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为,则直线l与x轴的交点,
由解法一知且,
解法1: =
.
下同解法一.
解法2:=
下同解法一.