1．指数函数
(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景；
(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
3．知道指数函数
与对数函数
互为反函数(a＞0，a≠1)。
指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
预测对本节的考察是：
1．题型有两个选择题和一个解答题；
2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。
1．指数与对数运算
(1)根式的概念：
①定义：若一个数的
次方等于
，则这个数称
的次方根。即若
，则
称的次方根
，
1)当为奇数时，
次方根记作
；
2)当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作
。
②性质：1)
；2)当为奇数时，
；
3)当为偶数时，
。
(2)．幂的有关概念
①规定：1)
N*；2)
；
n个
3)
Q，4)
、
N*
且
。
②性质：1)
、
Q)；
2)
、 Q)；
3)
Q)。
(注)上述性质对r、R均适用。
(3)．对数的概念
①定义：如果
的b次幂等于N，就是
，那么数
称以为底N的对数，记作
其中称对数的底，N称真数。
1)以10为底的对数称常用对数，
记作
；
2)以无理数
为底的对数称自然对数，
，记作
；
②基本性质：
1)真数N为正数(负数和零无对数)；2)
；
3)
；4)对数恒等式：
。
③运算性质：如果
则
1)
；
2)
；
3)
R)。
④换底公式：
1)
；2)
。
2．指数函数与对数函数
(1)指数函数：
①定义：函数
称指数函数，
1)函数的定义域为R；2)函数的值域为
；
3)当
时函数为减函数，当
时函数为增函数。
②函数图像：
1)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、二象限；
2)指数函数都以轴为渐近线(当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴)；
3)对于相同的，函数
的图象关于
轴对称。
|
(2)对数函数：
①定义：函数
称对数函数，
1)函数的定义域为；2)函数的值域为R；
3)当时函数为减函数，当时函数为增函数；
4)对数函数与指数函数互为反函数。
②函数图像：
1)对数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、四象限；
2)对数函数都以轴为渐近线(当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴)；
4)对于相同的，函数
的图象关于轴对称。
③函数值的变化特征：
|
题型1：指数运算
例1．(1)计算：
；
(2)化简：
。
解：(1)原式=
；
(2)原式=
。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
例2．已知
，求
的值。
解：∵，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
题型2：对数运算
例3．计算
(1)
；(2)
；
(3)
。
解：(1)原式
；
(2)原式
；
(3)分子=
；
分母=
；
原式=
。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。
例4．设、、
为正数，且满足
(1)求证：
；
(2)若
，
，求、、的值。
证明：(1)左边
；
解：(2)由得
，
∴
……………①
由得
………… ……………②
由①
②得
……………………………………③
由①得
，代入得
，
∵
，
∴
………………………………④
由③、④解得
，
，从而
。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。
题型3：指数、对数方程
例5．设关于的方程
R)，
(1)若方程有实数解，求实数b的取值范围；
(2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
解：(1)原方程为
，
，
时方程有实数解；
(2)①当
时，
，∴方程有唯一解
；
②当
时，
.
的解为
；
令
的解为
；
综合①、②，得
1)当
时原方程有两解：
；
2)当
时，原方程有唯一解；
3)当
时，原方程无解。
点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。
例6．(2006辽宁 文13)方程
的解为
。
解：考察对数运算。原方程变形为
，即
，得
。且
有
。从而结果为
。
点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。
题型4：指数函数的概念与性质
例7．设
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解：C；
，
。
点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。
例8．已知
试求函数f(x)的单调区间。
解：令
，则x=
，t∈R。
所以
即
，(x∈R)。
因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞)上的单调性。
任取
，
，且使
，则
(1)当a>1时，由，有
，
，所以
，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。
(2)当0<a<1时，由，有，
，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。
综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，(－∞，0)是f(x)的单调区间。
点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分
两种情况来处理。
题型5：指数函数的图像与应用
例9．若函数
的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )
A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1
解：
，
画图象可知－1≤m<0。
答案为B。
点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是
两种情况下函数的图像特征。
例10．设函数
的取值范围。
解：由于
是增函数，
等价于
①
1)当
时，
，①式恒成立；
2)当
时，
，①式化为
，即
；
3)当
时，
，①式无解；
综上的取值范围是
。
点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理。
题型6：对数函数的概念与性质
例11．(1)函数
的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
(2)(2006湖北)设f(x)＝
，则
的定义域为( )
A．
B．(－4,－1)
(1，4)
C．(－2,－1)(1，2)
D．(－4,－2)(2，4)
解：(1)D(2)B。
点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。
例12．对于
，
(1)函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；
(2)结合“实数a的取何值时
在
上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为
”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；
(3)结合(1)(2)两问，说明实数a的取何值时的值域为
(4)实数a的取何值时在
内是增函数。
解：记
，则
；
(1)不一样；
定义域为R
恒成立。
得：
，解得实数a的取值范围为
。
值域为R：
值域为R
至少取遍所有的正实数，
则
，解得实数a的取值范围为
。
(2)实数a的取何值时在上有意义：
命题等价于
对于任意
恒成立，
则
或
，
解得实数a得取值范围为
。
实数a的取何值时函数的定义域为：
由已知得二次不等式
的解集为可得
，则a=2。故a的取值范围为{2}。
区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决(这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值)
(3)易知
得值域是
，又得值域是
，
得
，故a得取值范围为{－1，1}。
(4)命题等价于在上为减函数，且对任意的
恒成立，则
，解得a得取值范围为
。
点评：该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。
题型7：对数函数的图像及应用
例13．当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )
解：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，
又a>1时，y=(1－a)x为减函数。
答案：B
点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。
例14．设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。
(1)求点D的坐标；
(2)当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围。
解：(1)易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，
所以由中点公式得D(a+2, log2
)。
(2)S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2
,
其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。
由S△ABC= log2>1, 得0< a<2
－2。
点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。
题型8：指数函数、对数函数综合问题
例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(
)x(0<a<1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；
(2)若对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由。
解：(1)由题意知：an=n+
,∴bn=2000()
。
(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减，
∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2。
则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，
即()2+()－1>0，
解得a<－5(1+
)或a>5(
－1)。
∴5(－1)<a<10。
(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7
∴bn=2000(
)。数列{bn}是一个递减的正数数列，
对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1。
于是当bn≥1时，Bn<Bn－1，当bn<1时，Bn≤Bn－1，
因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1，
由bn=2000()≥1得：n≤20。
∴n=20。
点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。
例16．已知函数
为常数)
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。
(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。
解：(1)由
∵a＞0，x≥0
∴f(x)的定义域是
。
(2)若a=2，则
设
， 则
故f(x)为增函数。
(3)设
①
∵f(x)是增函数，
∴f(x1)＞f(x2)
即
②
联立①、②知a＞1，
∴a∈(1，+∞)。
点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。
题型9：课标创新题
例17．对于在区间
上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的
，均有
，则称f(x)与g(x)在上是接近的，否则称f(x)与g(x)在上是非接近的，现有两个函数
与
，给定区间
。
(1)若
与
在给定区间上都有意义，求a的取值范围；
(2)讨论与在给定区间上是否是接近的。
解：(1)两个函数与在给定区间有意义，因为函数
给定区间上单调递增，函数在
给定区间上恒为正数，
故有意义当且仅当
；
(2)构造函数
，
对于函数
来讲，
显然其在
上单调递减，在
上单调递增。
且
在其定义域内一定是减函数。
由于，得
所以原函数在区间
内单调递减，只需保证
当
时，与在区间上是接近的；
当
时，与在区间上是非接近的。
点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。
例18．设
，
，且
，求
的最小值。
解：令
，
∵，，∴
。
由得
，∴
，
∴
，∵，∴
，即
，∴
，
∴
，
∵，∴当
时，
。
点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。
1．
(其中
)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；
2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；
3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；
4．指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；
5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；
6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。
，
，
，
，
，
，
.
，
.