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题型1:指数运算
例1.(1)计算:;
(2)化简:。
解:(1)原式=
;
(2)原式=
。
点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。
例2.已知,求的值。
解:∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴。
点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。
题型2:对数运算
例3.计算
(1);(2);
(3)。
解:(1)原式
;
(2)原式
;
(3)分子=;
分母=;
原式=。
点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧。
例4.设、、为正数,且满足
(1)求证:;
(2)若,,求、、的值。
证明:(1)左边
;
解:(2)由得,
∴……………①
由得………… ……………②
由①②得……………………………………③
由①得,代入得,
∵, ∴………………………………④
由③、④解得,,从而。
点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到最见形式再来处理即可。
题型3:指数、对数方程
例5.设关于的方程R),
(1)若方程有实数解,求实数b的取值范围;
(2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。
解:(1)原方程为,
,
时方程有实数解;
(2)①当时,,∴方程有唯一解;
②当时,.
的解为;
令
的解为;
综合①、②,得
1)当时原方程有两解:;
2)当时,原方程有唯一解;
3)当时,原方程无解。
点评:具有一些综合性的指数、对数问题,问题的解答涉及指数、对数函数,二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力,这也是指数、对数问题的特点,题型非常广泛,应通过解题学习不断积累经验。
例6.(2006辽宁 文13)方程的解为 。
解:考察对数运算。原方程变形为,即,得。且有。从而结果为。
点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。
题型4:指数函数的概念与性质
例7.设( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:C;,。
点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值。
例8.已知试求函数f(x)的单调区间。
解:令,则x=,t∈R。
所以即,(x∈R)。
因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故只需讨论f(x)在[0,+∞)上的单调性。
任取,,且使,则
(1)当a>1时,由,有,,所以,即f(x)在[0,+∞]上单调递增。
(2)当0<a<1时,由,有,,所以,即f(x)在[0,+∞]上单调递增。
综合所述,[0,+∞]是f(x)的单调增区间,(-∞,0)是f(x)的单调区间。
点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。
题型5:指数函数的图像与应用
例9.若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是( )
A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0<m≤1
解:,
画图象可知-1≤m<0。
答案为B。
点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。
例10.设函数的取值范围。
解:由于是增函数,等价于 ①
1)当时,,①式恒成立;
2)当时,,①式化为,即;
3)当时,,①式无解;
综上的取值范围是。
点评:处理含有指数式的不等式问题,借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理。
题型6:对数函数的概念与性质
例11.(1)函数的定义域是( )
A. B. C. D.
(2)(2006湖北)设f(x)=,则的定义域为( )
A. B.(-4,-1)(1,4)
C.(-2,-1)(1,2) D.(-4,-2)(2,4)
解:(1)D(2)B。
点评:求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围,在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。
例12.对于,
(1)函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事;
(2)结合“实数a的取何值时在上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别;
(3)结合(1)(2)两问,说明实数a的取何值时的值域为
(4)实数a的取何值时在内是增函数。
解:记,则;
(1)不一样;
定义域为R恒成立。
得:,解得实数a的取值范围为。
值域为R:值域为R至少取遍所有的正实数,
则,解得实数a的取值范围为。
(2)实数a的取何值时在上有意义:
命题等价于对于任意恒成立,
则或,
解得实数a得取值范围为。
实数a的取何值时函数的定义域为:
由已知得二次不等式的解集为可得,则a=2。故a的取值范围为{2}。
区别:“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决(这里转化成了解集问题,即取遍解集内所有的数值)
(3)易知得值域是,又得值域是,
得,故a得取值范围为{-1,1}。
(4)命题等价于在上为减函数,且对任意的恒成立,则,解得a得取值范围为。
点评:该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇到了恒成立问题,“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价,同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况,解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。
题型7:对数函数的图像及应用
例13.当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是( )
解:当a>1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,
又a>1时,y=(1-a)x为减函数。
答案:B
点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是把握图像的性质,根据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。
例14.设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。
(1)求点D的坐标;
(2)当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围。
解:(1)易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)),
所以由中点公式得D(a+2, log2 )。
(2)S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2,
其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。
由S△ABC= log2>1, 得0< a<2-2。
点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理,根据函数的性质来处理复杂问题。
题型8:指数函数、对数函数综合问题
例15.在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<1)的图象上,且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式;
(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由。
解:(1)由题意知:an=n+,∴bn=2000()。
(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减,
∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2。
则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,
即()2+()-1>0,
解得a<-5(1+)或a>5(-1)。
∴5(-1)<a<10。
(3)∵5(-1)<a<10,∴a=7
∴bn=2000()。数列{bn}是一个递减的正数数列,
对每个自然数n≥2,Bn=bnBn-1。
于是当bn≥1时,Bn<Bn-1,当bn<1时,Bn≤Bn-1,
因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1,
由bn=2000()≥1得:n≤20。
∴n=20。
点评:本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终还是根据函数性质结合数列知识,以及三角形的面积解决了实际问题。
例16.已知函数为常数)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若a=2,试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。
(3)若函数y=f(x)是增函数,求a的取值范围。
解:(1)由
∵a>0,x≥0
∴f(x)的定义域是。
(2)若a=2,则
设 , 则
故f(x)为增函数。
(3)设
①
∵f(x)是增函数,
∴f(x1)>f(x2)
即 ②
联立①、②知a>1,
∴a∈(1,+∞)。
点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结合一般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可。
题型9:课标创新题
例17.对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意的,均有,则称f(x)与g(x)在上是接近的,否则称f(x)与g(x)在上是非接近的,现有两个函数与,给定区间。
(1)若与在给定区间上都有意义,求a的取值范围;
(2)讨论与在给定区间上是否是接近的。
解:(1)两个函数与在给定区间有意义,因为函数给定区间上单调递增,函数在给定区间上恒为正数,
故有意义当且仅当;
(2)构造函数,
对于函数来讲,
显然其在上单调递减,在上单调递增。
且在其定义域内一定是减函数。
由于,得
所以原函数在区间内单调递减,只需保证
当时,与在区间上是接近的;
当时,与在区间上是非接近的。
点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接近”的含义,再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究,转化成含有对数因式的不等式问题,解不等式即可。
例18.设,,且,求的最小值。
解:令 ,
∵,,∴。
由得,∴,
∴,∵,∴,即,∴,
∴,
∵,∴当时,。
点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。