向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移.

(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.

(2)掌握向量的加法和减法.

(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.

(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.

[注意]向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切.在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用.

1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

2.向量的数量积的运算律：

(1) a.b= b.a (交换律);

(2)(a).b= (a.b)=a.b= a.(b);

(3)(a+b).c= a .c +b.c.

切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，

3.平面向量基本定理

如果e₁、e ₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ₁、λ₂，使得a=λ₁e₁+λ₂e₂．不共线的向量e₁、e₂叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

4.向量平行的坐标表示　

设a=,b=，且b0，

则ab(b0).

5.a与b的数量积(或内积)a.b=|a||b|cosθ．

6. a.b的几何意义

数量积a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

7.平面向量的坐标运算

(1)设a=,b=，则a+b=.

(2)设a=,b=，则a-b=.　

(3)设A，B,

则.

(4)设a=，则a=.

(5)设a=,b=，则a.b=.

8.两向量的夹角公式

(a=,b=).

9.平面两点间的距离公式(A，B).

=

10.向量的平行与垂直

设a=,b=，且b0，

则A||bb=λa .

ab(a0)a.b=0.

11.线段的定比分公式 　

设，，是线段的分点,是实数，且，则

().

12.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.

13.点的平移公式

　

注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.

14.“按向量平移”的几个结论

(1)点按向量a=平移后得

到点.

(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为

.

(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.

(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.

(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.

注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

15. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

(1)为的外心.

(2)为的重心.

(3)为的垂心

.

(4)为的内心.

(5)为的的旁心

.

1、向量有关概念：

(1)向量的概念

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。

(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；

(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！(因为有)；

④三点共线共线；

(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

2、向量的表示方法：

(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

(3)坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为

，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3. 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。

4、平面向量的数量积：

(1)两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；

(2)在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。

6、向量的运算：

如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。

7.线段的定比分点：

的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。