高考数学招生适应性考试试卷 数学(理工农医类)参考答案

数学(理工农医类)参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C　　 2．D　　 3．B　　 4．A　　 5．C　　 6．B　　 7．C　 8．D　　 9．D　　 10．B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．

11．

12．

13．

14．(1)(2)

15．，32

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：(I)由题设知．

因为是函数图象的一条对称轴，所以，

即()．

所以．

当为偶数时，，

当为奇数时，．

(II)

．

当，即()时，

函数是增函数，

故函数的单调递增区间是()．

17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

(I)解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是．

解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是．

所以该人参加过培训的概率是．

(II)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是

	0	1	2	3
	0.001	0.027	0. 243	0.729

的期望是．

(或的期望是)

18．解：解法一：(I)因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．

(II)过点作于点，连结．

由(I)的结论可知，平面，

所以是和平面所成的角．

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，故．

因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．

由题设，，，则．所以，，

，．

因为平面，，所以平面，从而．

故，．

又，由得．

故．

即直线与平面所成的角是．

解法二：(I)因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．

(II)由(I)可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)，

由题设，，，则，

，，相关各点的坐标分别是，

，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，

由得故可取．

过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．

因为，所以，．

设()，由，解得，

所以．

设和平面所成的角是，则

．

故直线与平面所成的角是．

19．解：(I)如图，，，，

由三垂线定理逆定理知，，所以是

山坡与所成二面角的平面角，则，

．

设，．则

．

记总造价为万元，

据题设有

当，即时，总造价最小．

(II)设，，总造价为万元，根据题设有

．

则，由，得．

当时，，在内是减函数；

当时，，在内是增函数．

故当，即(km)时总造价最小，且最小总造价为万元．

(III)解法一：不存在这样的点，．

事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于　与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于(I)、(II)讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价．

解法二：同解法一得

．

当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．

20．解：由条件知，，设，．

解法一：(I)设，则则，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

(II)假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

解法二：(I)同解法一的(I)有

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以．

．

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

(II)假设在轴上存在定点点，使为常数，

当不与轴垂直时，由(I)有，．

以上同解法一的(II)．

21．解：(I)当时，由已知得．

因为，所以．　　　　　　　　　　　　　　　 …… ①

于是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　……②

由②－①得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… ③

于是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……　 ④

由④－③得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… ⑤

所以，即数列是常数数列．

(II)由①有，所以．由③有，，所以，．

而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，

所以，，，

数列是单调递增数列且对任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

(III)解法一：弦的斜率为

任取，设函数，则

记，则，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以时，，从而，所以在和上都是增函数．

由(II)知，时，数列单调递增，

取，因为，所以．

取，因为，所以．

所以，即弦的斜率随单调递增．

解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，

所以，．

故，即弦的斜率随单调递增．