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数学(理工农医类)参考答案

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.C   2.D   3.B   4.A   5.C   6.B   7.C  8.D   9.D   10.B

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在横线上.

11.

12.

13.

14.(1)(2)

15.,32

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.解:(I)由题设知

因为是函数图象的一条对称轴,所以

().

所以

为偶数时,

为奇数时,

(II)

,即()时,

函数是增函数,

故函数的单调递增区间是().

17.解:任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件,“该人参加过计算机培训”为事件,由题设知,事件相互独立,且

(I)解法一:任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是

解法二:任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是

(II)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数服从二项分布,即的分布列是


0
1
2
3

0.001
0.027
0. 243
0.729

的期望是

(或的期望是)

18.解:解法一:(I)因为平面平面,平面平面平面,所以平面,又平面,所以平面平面

(II)过点于点,连结

由(I)的结论可知,平面

所以和平面所成的角.

因为平面平面,平面平面

平面,所以平面,故

因为,所以可在上取一点,使,又因为,所以四边形是矩形.

由题设,则.所以

因为平面,所以平面,从而

,由

即直线与平面所成的角是

解法二:(I)因为平面平面,平面平面

平面,所以平面,从而.又,所以平面.因为平面,所以平面平面

(II)由(I)可知,平面.故可以为原点,分别以直线轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图),

由题设,则

,相关各点的坐标分别是

所以

是平面的一个法向量,

故可取

过点平面于点,因为,所以,于是点轴上.

因为,所以

(),由,解得

所以

和平面所成的角是,则

故直线与平面所成的角是

19.解:(I)如图,

由三垂线定理逆定理知,,所以

山坡与所成二面角的平面角,则

.则

记总造价为万元,

据题设有

,即时,总造价最小.

(II)设,总造价为万元,根据题设有

,由,得

时,内是减函数;

时,内是增函数.

故当,即(km)时总造价最小,且最小总造价为万元.

(III)解法一:不存在这样的点

事实上,在上任取不同的两点.为使总造价最小,显然不能位于 与之间.故可设位于之间,且=,总造价为万元,则.类似于(I)、(II)讨论知,,当且仅当同时成立时,上述两个不等式等号同时成立,此时取得最小值,点分别与点重合,所以不存在这样的点 ,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价.

解法二:同解法一得

当且仅当,即同时成立时,取得最小值,以上同解法一.

20.解:由条件知,设

解法一:(I)设,则

,由

于是的中点坐标为

不与轴垂直时,,即

又因为两点在双曲线上,所以,两式相减得

,即

代入上式,化简得

轴垂直时,,求得,也满足上述方程.

所以点的轨迹方程是

(II)假设在轴上存在定点,使为常数.

不与轴垂直时,设直线的方程是

代入

是上述方程的两个实根,所以

于是

因为是与无关的常数,所以,即,此时=

轴垂直时,点的坐标可分别设为

此时

故在轴上存在定点,使为常数.

解法二:(I)同解法一的(I)有

不与轴垂直时,设直线的方程是

代入

是上述方程的两个实根,所以

由①②③得.…………………………………………………④

.……………………………………………………………………⑤

时,,由④⑤得,,将其代入⑤有

.整理得

时,点的坐标为,满足上述方程.

轴垂直时,,求得,也满足上述方程.

故点的轨迹方程是

(II)假设在轴上存在定点点,使为常数,

不与轴垂直时,由(I)有

以上同解法一的(II).

21.解:(I)当时,由已知得

因为,所以.                …… ①

于是.                                  ……②

由②-①得.                             …… ③

于是.                                 ……  ④

由④-③得,                                 …… ⑤

所以,即数列是常数数列.

(II)由①有,所以.由③有,所以

而 ⑤表明:数列分别是以为首项,6为公差的等差数列,

所以

数列是单调递增数列对任意的成立.

即所求的取值集合是

(III)解法一:弦的斜率为

任取,设函数,则

,则

时,上为增函数,

时,上为减函数,

所以时,,从而,所以上都是增函数.

由(II)知,时,数列单调递增,

,因为,所以

,因为,所以

所以,即弦的斜率随单调递增.

解法二:设函数,同解法一得,上都是增函数,

所以

,即弦的斜率随单调递增.