高考数学模拟考试题(理科卷2) 时量120分钟　 总分150分参考答案

数学参考答案与评分标准

一、

1．C　　2．D　　3．A　　4．B　　5．B　　6．D　　7．B　　8．C　9．A　　10．A　　 　

二、填空题：本大题共5小题；每小题4分，共20分．

11.16条　　 12．100　　　　　 13. {x|x=－1或x≥3}，　　　　　 14. 2101　　　　　　 15.(2)、(4)

三、解答题：本大题共6小题；共80分．

16． (Ⅰ)由ni=1=S_n²，　　　 (1)　　　　　　　　 由n+1i=1=S_n+1²，　　　　　　 (2)

(2)－(1)，得=(S_n+1+S_n)(S_n+1－S_n)=(2 S_n+a_n+1) a_n+1．

∵ a_n+1 >0，∴a_n+1²－=2S_n．　　　　　　　　　　　 ……………………………12分

17．(Ⅰ)=sinωxcosωx+cos²ωx　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………　　 2分

　=sin2ωx+(1+cos2ωx)

=sin(2ωx+)+ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………　 4分

∵ ω>0，∴T=π=，∴ω=1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………　 6分

(Ⅱ)由(1)，得=sin(2x+) + ,

∴0＜x≤,　 ∴＜2x+≤．　　　　　　　　　　　 ………………………… 9分

∴∈[1，]．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………… 12分

18．　　 (Ⅰ)①P(A)= = ．　 　　　　　　　　　　　　………………………　 4分

　　　　 ②== ．　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………　 8分

(Ⅲ) P(AB)= = , =，

∴≠，故A与B是不独立的．　　　　 ………………………　 14分

19. (Ⅰ)∵　 B₁D⊥平面ABC，　 AC平面ABC，

∴　 B₁D⊥AC, 又AC⊥BC,　 BC∩B₁D=D．

　　　　　　 　∴　 AC⊥平面BB₁C₁C．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 3分

　　　　　　　 (Ⅱ)　∵ AC⊥平面BB₁C₁C ，要使AB₁⊥BC₁ ，由三垂线定理可知，

　　　　　　　　　　 　　只须B₁C⊥BC₁，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 5 分

　　　　　　　　 ∴　 平行四边形BB₁C₁C为菱形， 此时，BC=BB₁．

　　　　　　　　 又∵ B₁D⊥BC, 要使D为BC中点，只须B₁C= B₁B，即△BB₁C为正三角形，

　　　　　　　　 ∴　 ∠B₁BC= 60°．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 7分

　∵ 　B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，

　　　　　　　 ∴ ∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角．

故当α=60°时，AB₁⊥BC₁，且使D为BC中点．　　 ……………………… 8分

(Ⅲ)过C₁作C₁E⊥BC于E，则C₁E⊥平面ABC．

过E作EF⊥AB于F，C₁F，由三垂线定理，得C₁F⊥AB．

∴∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角． 　　　　　…………………… 10分

设AC=BC=AA₁=a，

在Rt△CC₁E中，由∠C₁BE=α=，C₁E=a．

在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=BE=a．

∴∠C₁FE=45°，故所求的二面角C₁-AB-C为45°．……………… 14分

解法二：(1)同解法一 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………… 3分

(Ⅱ)要使AB₁⊥BC₁，D是BC的中点，即=0，||=||，

∴， =0，∴．

∴，故△BB₁C为正三角形，∠B₁BC=60°；

∵　 B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，　 　　　　　　　　　　　…………………… 7分

　　 　　　　∴ ∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角．

　　　　　 故当α=60°时，AB₁⊥BC₁，且D为BC中点．　　　　　　　　　 …………………8分

(Ⅲ)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，－，a)，

平面ABC的法向量n₁=(0，0，1)，设平面ABC₁的法向量n₂=(x，y，z)．

由n₂=0，及n₂=0，得

　　　∴n₂=(，，1)．　　　　　 ……………………10分

cos<n₁, n₂>＝= ，

故n₁ , n₂所成的角为45°，即所求的二面角为45°．………………………14分

20. (Ⅰ)∵　 f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)

＝x³－(a+b +c)x²+(ab+bc+ac)x－abc　　　　　　　　　　　　 ……………3 分

　　　　　　　　　 f ′(x)=3 x²－2(a+b +c)x+(ab+bc+ac)

=[ x²－ (a+b)x+ab]+[ x²－ (a+c)x+ac]+[ x²－ (b+c)x+bc]

=(x－a)(x－b)+(x－a)(x－c) +(x－b)(x－c)．……………………………6分

(Ⅱ)∵f(x)是R上的单调函数，∴f ′(x)≥0，对x∈R恒成立，

即　　　　 3x²－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)≥0 对x∈R恒成立．

∴△≤0,　 4(a+b+c)²－12(ab+bc+ca) ≤0，

　∴ (a－b)²+(a－c)²+ (b－c)²≤0，∴ a=b=c．

∴　　 f(x)=(x－a)³ ， ∴f(x)关于点(a，0)对称．　　　　 ………………………9分

证明如下：设点P(x，y)是 f(x)=(x－a)³图像上的任意一点，y=(x－a)³，

点P关于点(a，0)对称的点P′(2a－x，－y)，

∵(2a－x－a)³=(2a－x)³= －(x－2a)³=－y ，

∴点P′在函数f(x)=(x－a)³的图像上，即函数f(x)=(x－a)³关于点(a，0)对称．

…………………………………………………………14分

21．(Ⅰ)　 由(x－12)²+y²=144－a(a<144),

可知圆心M的坐标为(12，0)，　　　　　　　　　　　　　 …………………………2分

依题意，∠ABM=∠BAM=，k_AB= , MA、MB的斜率k满足| |=1,

解得=2，=－ ．　　　　　　　　　　 …………………………………4分

∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0． ……………6分

　(Ⅱ) 设MB、MA的倾斜角分别为θ₁，θ₂，则tanθ₁＝2，tanθ₂＝－，

设圆半径为r，则A(12+)，B(12－，)， ……9分

再设抛物线方程为y²＝2px (p＞0)，由于A，B两点在抛物线上，

∴　∴ r=4，p=2．

得抛物线方程为y²＝4x。　　　　　　　　　　　　　　 ……………………………………14分