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3.函数的定义域是( ).
A.(2,3) B.[2, C.(2, D.(2,+∞)
数学参考答案与评分标准
一、
1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A
二、填空题:本大题共5小题;每小题4分,共20分.
11.16条 12.100 13. {x|x=-1或x≥3}, 14. 2101 15.(2)、(4)
三、解答题:本大题共6小题;共80分.
16. (Ⅰ)由ni=1=Sn2, (1) 由n+1i=1=Sn+12, (2)
(2)-(1),得=(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2 Sn+an+1) an+1.
∵ an+1 >0,∴an+12-=2Sn. ……………………………12分
17.(Ⅰ)=sinωxcosωx+cos2ωx …………………… 2分
=sin2ωx+(1+cos2ωx)
=sin(2ωx+)+ ……………………… 4分
∵ ω>0,∴T=π=,∴ω=1. ……………………… 6分
(Ⅱ)由(1),得=sin(2x+) + ,
∴0<x≤, ∴<2x+≤. ………………………… 9分
∴∈[1,]. ………………………… 12分
18. (Ⅰ)①P(A)= = . ……………………… 4分
②== . ……………………… 8分
(Ⅲ) P(AB)= = , =,
∴≠,故A与B是不独立的. ……………………… 14分
19. (Ⅰ)∵ B1D⊥平面ABC, AC平面ABC,
∴ B1D⊥AC, 又AC⊥BC, BC∩B1D=D.
∴ AC⊥平面BB1C1C. ………………………… 3分
(Ⅱ) ∵ AC⊥平面BB1C1C ,要使AB1⊥BC1 ,由三垂线定理可知,
只须B1C⊥BC1, ………………………… 5 分
∴ 平行四边形BB1C1C为菱形, 此时,BC=BB1.
又∵ B1D⊥BC, 要使D为BC中点,只须B1C= B1B,即△BB1C为正三角形,
∴ ∠B1BC= 60°. ………………………… 7分
∵ B1D⊥平面ABC,且D落在BC上,
∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角.
故当α=60°时,AB1⊥BC1,且使D为BC中点. ……………………… 8分
(Ⅲ)过C1作C1E⊥BC于E,则C1E⊥平面ABC.
过E作EF⊥AB于F,C1F,由三垂线定理,得C1F⊥AB.
∴∠C1FE是所求二面角C1-AB-C的平面角. …………………… 10分
设AC=BC=AA1=a,
在Rt△CC1E中,由∠C1BE=α=,C1E=a.
在Rt△BEF中,∠EBF=45°,EF=BE=a.
∴∠C1FE=45°,故所求的二面角C1-AB-C为45°.……………… 14分
解法二:(1)同解法一 ……………… 3分
(Ⅱ)要使AB1⊥BC1,D是BC的中点,即=0,||=||,
∴, =0,∴.
∴,故△BB1C为正三角形,∠B1BC=60°;
∵ B1D⊥平面ABC,且D落在BC上, …………………… 7分
∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角.
故当α=60°时,AB1⊥BC1,且D为BC中点. …………………8分
(Ⅲ)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,-,a),
平面ABC的法向量n1=(0,0,1),设平面ABC1的法向量n2=(x,y,z).
由n2=0,及n2=0,得
∴n2=(,,1). ……………………10分
cos<n1, n2>== ,
故n1 , n2所成的角为45°,即所求的二面角为45°.………………………14分
20. (Ⅰ)∵ f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
=x3-(a+b +c)x2+(ab+bc+ac)x-abc ……………3 分
f ′(x)=3 x2-2(a+b +c)x+(ab+bc+ac)
=[ x2- (a+b)x+ab]+[ x2- (a+c)x+ac]+[ x2- (b+c)x+bc]
=(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c) +(x-b)(x-c).……………………………6分
(Ⅱ)∵f(x)是R上的单调函数,∴f ′(x)≥0,对x∈R恒成立,
即 3x2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)≥0 对x∈R恒成立.
∴△≤0, 4(a+b+c)2-12(ab+bc+ca) ≤0,
∴ (a-b)2+(a-c)2+ (b-c)2≤0,∴ a=b=c.
∴ f(x)=(x-a)3 , ∴f(x)关于点(a,0)对称. ………………………9分
证明如下:设点P(x,y)是 f(x)=(x-a)3图像上的任意一点,y=(x-a)3,
点P关于点(a,0)对称的点P′(2a-x,-y),
∵(2a-x-a)3=(2a-x)3= -(x-2a)3=-y ,
∴点P′在函数f(x)=(x-a)3的图像上,即函数f(x)=(x-a)3关于点(a,0)对称.
…………………………………………………………14分
21.(Ⅰ) 由(x-12)2+y2=144-a(a<144),
可知圆心M的坐标为(12,0), …………………………2分
依题意,∠ABM=∠BAM=,kAB= , MA、MB的斜率k满足| |=1,
解得=2,=- . …………………………………4分
∴所求BD方程为x+2y-12=0,AC方程为2x-y-24=0. ……………6分
(Ⅱ) 设MB、MA的倾斜角分别为θ1,θ2,则tanθ1=2,tanθ2=-,
设圆半径为r,则A(12+),B(12-,), ……9分
再设抛物线方程为y2=2px (p>0),由于A,B两点在抛物线上,
∴ ∴ r=4,p=2.
得抛物线方程为y2=4x。 ……………………………………14分