直线、平面、简单几何体综合训练
[模拟试题]
第I卷(选择题 共60分)
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 室内有一根直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线( )
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直
2. 正三棱锥相邻两侧面所成的角为,则的取值范围是( )
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(,)
3. 已知二面角的大小为,和是两条异面直线,则在下列四个条件中,不能使和所成的角为的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
4. 已知直线、和平面,则的一个必要不充分条件是( )
A. , B. ,
C. , D. 、与成等角
5. 如图,ABCD为正方形,点P为平面AC外一点,PD⊥平面ABCD,PD=AD=,设点C到平面PAB的距离为,点B到平面PAC的距离为,则有( )
A. B. C. D.
6. 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,对于下列结论:
① AC⊥BD;② 是正三角形;③ AB与CD成角;④ AB与平面BCD成角。则其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 若3个平面将空间分成部分,则的值为( )
A. 4 B. 4或6 C. 4或6或7 D. 4或6或7或8
8. 正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为( )
A. B. C. D.
9. 设地球表面积为S,则地球表面上从A地(北纬,东经)到B地(北纬,东经)的最短距离为( )
A. B. C. D.
10. 设球O的半径为R,A,B,C为球面上三点,A与B、A与C的球面距离都为R,B与C的球面距离为,则球O在二面角内的那一部分的体积是( )
A. B. C. D.
11. 如下图,在正方体的侧面内有一点P到直线与到直线的距离相等,则动点P所在曲线的大致形状是( )
A. 一条线段 B. 一段椭圆弧 C. 一段抛物线 D. 一段圆弧
12. 如图是一个正方体纸盒的展开图,若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后,按虚线折成正方体,则所得正方体相对面上两个数的和都相等的概率是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 共90分)
13. 在正方体中,E、F分别是、DC的中点,直线与平面ADE所成的角是 。
14. 一直角梯形ABCD,AB⊥AD,AD⊥DC,AB=2,BC=,CD=1,E为AD中点,沿CE、BE把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥,使点A、D重合,则这三棱锥的体积等于 。
15. 如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是 (要求:把你认为正确图形的序号都填上)。
16. 已知、是两个不同的平面,,是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断:① ;② ;③ ;④ 。以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: 。
17. 在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为DC边的中点,沿AE将折起,使二面角为。
(1)求DE与平面AC 所成角的大小
(2)求二面角的大小
18. 如图,直三棱柱中,,,D为棱的中点。
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求证:平面平面ADC
19. 已知S是所在平面外一点,O是边AC的中点,,点P是SA的中点。
(1)求证:平面ABC
(2)求证:平面BOP
(3)若是等腰直角三角形,且,又SC与平面BOP的距离为,求二面角的大小。
20. 在棱长为1的正方体中
(1)P、Q分别是、上的点且,(如图甲)。求证:PQ//平面
(2)M、N分别是、的中点(如图乙),求直线AM与CN所成的角
(3)E、F分别是AB、BC的中点(如图丙),试问在棱上能否找到一点H,使平面?若能,试确定点H的位置,若不能,请说明理由。
直线、平面、简单几何体综合训练参考答案
[试题答案]
一.
1-6 DDCDDC 7-12 DDCBCB
二.
13. 14. 15. ①③⑥ 16. ②③④①或①③④②
三.
17. 如图甲所示,过点D作DM⊥AE于M,延长DM与BC交于N,在翻折过程中DM⊥AE,MN⊥AE保持不变,翻折后,如图乙,为二面角的平面角,,AE⊥平面DMN,又因为平面,则平面平面DMN
图甲 图乙
(1)在平面DMN内,作DO⊥MN于O
∵ 平面AC⊥平面DNM ∴ DO⊥平面AC
连结OE,DO⊥OE,为DE与平面AC所成的角
如图甲,在直角三角形ADE中,AD=3,DE=2
,
如图乙,在直角三角形DOM中,,
在直角三角形DOE中,
则 ∴ DE与平面AC所成的角为
(2)如图乙,在平面AC内,作OF⊥EC于F,连结DF
∵ DO⊥平面AC ∴ DF⊥EC ∴ 为二面角的平面角
如图甲,作 于F,则∽
∴
如图乙,在中,
如图甲,,
在中,
∴ 二面角的大小为
18. 解法一:
(1)建立如下图所示的平面直角坐标系。
设,则(0,0,),C(0,,0),C1(0,,),D(,0,),于是,。
∵
∴ 异面直线与所成的角为
(2)∵ ,,
∴ ,
则, ∴ ⊥平面ADC,又平面
∴ 平面平面
解法二
(1)连结交于点E,取AD中点F,连结EF,则EF∥C1D
∴ 直线EF与A1C所成的角就是异面直线与所成的角
设 则
中,
直三棱柱中,面ABC,,则
∵
∴ 异面直线与所成的角为
(2)直三棱柱中, ∴ 平面,则
又 ,,,则,于是
∴ 平面,又 平面
∴ 平面平面ADC
19.
(1)在平面中, 又
∴ 即,
∴ 平面ABC
(2)∵ P是SA的中点,O是AC的中点 ∴ OP∥SC 而平面BOP
平面BOP ∴ SC∥平面BOP
(3)由SO⊥平面ABC知平面SAC⊥平面ABC
又等腰直角中,BO⊥AC,∴ BO⊥平面SAC
在中,作OM⊥SC于M,连BM,则BM⊥SC
∴ 为二面角的平面角
由,OM⊥OB知,OM⊥平面BOP
∴ OM是SC与平面BOP的距离,
又
在中, ∴
即二面角的大小为。
20.
(1)证法一:在上取点,上取点Q,使
,由已 知得
∴ 且
在平面AA1B1B中同理可证QQ1∥AB,且
∴ ∴ PQ∥P1Q1 又 平面
∴ //平面AA1D1D
证法二:
以D为原点,建立空间直角坐标系,使下列各点的坐标为D1(0,0,1),B1(1,1,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),又已知P(,,1),Q(1,,),在、上取点P1、Q1,使满足,,则由定比分点公式得,,∴ ,
∴ ∴ PQ//平面AA1D1D
(2)解法一:
取AB中点,CC1中点连、、,则,
∴ 即为AM与CN所成的角
在中,
,由余弦定理得
∴ AM与CN所成的角为。
解法二:
以D为原点建立空间直角坐标系,使下列各点坐标为A(1,0,0),M(1,,1),N(1,1,),C(0,1,0)
∴ ,
∴
∴ AM与CN所成的角为
(3)解法一:
能找到点H。∵ ∴ BH在底面的射影为BD,则BH⊥EF恒成立,若BH⊥平面BEF,则HB⊥B1F必成立。设H在BB1C1C内射影为H1,必成立。
易证,∴ ,即H1是CC1中点。
∴ H也必是DD1中点,∴ 这样的点存在且是DD1之中点。
解法二:
以D为原点建立空间直角坐标系,设H坐标为(0,0,),B1(1,1,0),B(1,1,0),F(,1,0),BH⊥EF恒成立(如解法一)
若BH⊥平面B1EF,则BH⊥B1F。即
又,
∴ 即
∴ ,故存在点H是DD1之中点