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17. 在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为DC边的中点,沿AE将折起,使二面角为。
(1)求DE与平面AC 所成角的大小
(2)求二面角的大小
[试题答案]
一.
1-6 DDCDDC 7-12 DDCBCB
二.
13. 14. 15. ①③⑥ 16. ②③④①或①③④②
三.
17. 如图甲所示,过点D作DM⊥AE于M,延长DM与BC交于N,在翻折过程中DM⊥AE,MN⊥AE保持不变,翻折后,如图乙,为二面角的平面角,,AE⊥平面DMN,又因为平面,则平面平面DMN
图甲 图乙
(1)在平面DMN内,作DO⊥MN于O
∵ 平面AC⊥平面DNM ∴ DO⊥平面AC
连结OE,DO⊥OE,为DE与平面AC所成的角
如图甲,在直角三角形ADE中,AD=3,DE=2
,
如图乙,在直角三角形DOM中,,
在直角三角形DOE中,
则 ∴ DE与平面AC所成的角为
(2)如图乙,在平面AC内,作OF⊥EC于F,连结DF
∵ DO⊥平面AC ∴ DF⊥EC ∴ 为二面角的平面角
如图甲,作 于F,则∽
∴
如图乙,在中,
如图甲,,
在中,
∴ 二面角的大小为
18. 解法一:
(1)建立如下图所示的平面直角坐标系。
设,则(0,0,),C(0,,0),C1(0,,),D(,0,),于是,。
∵
∴ 异面直线与所成的角为
(2)∵ ,,
∴ ,
则, ∴ ⊥平面ADC,又平面
∴ 平面平面
解法二
(1)连结交于点E,取AD中点F,连结EF,则EF∥C1D
∴ 直线EF与A1C所成的角就是异面直线与所成的角
设 则
中,
直三棱柱中,面ABC,,则
∵
∴ 异面直线与所成的角为
(2)直三棱柱中, ∴ 平面,则
又 ,,,则,于是
∴ 平面,又 平面
∴ 平面平面ADC
19.
(1)在平面中, 又
∴ 即,
∴ 平面ABC
(2)∵ P是SA的中点,O是AC的中点 ∴ OP∥SC 而平面BOP
平面BOP ∴ SC∥平面BOP
(3)由SO⊥平面ABC知平面SAC⊥平面ABC
又等腰直角中,BO⊥AC,∴ BO⊥平面SAC
在中,作OM⊥SC于M,连BM,则BM⊥SC
∴ 为二面角的平面角
由,OM⊥OB知,OM⊥平面BOP
∴ OM是SC与平面BOP的距离,
又
在中, ∴
即二面角的大小为。
20.
(1)证法一:在上取点,上取点Q,使
,由已 知得
∴ 且
在平面AA1B1B中同理可证QQ1∥AB,且
∴ ∴ PQ∥P1Q1 又 平面
∴ //平面AA1D1D
证法二:
以D为原点,建立空间直角坐标系,使下列各点的坐标为D1(0,0,1),B1(1,1,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),又已知P(,,1),Q(1,,),在、上取点P1、Q1,使满足,,则由定比分点公式得,,∴ ,
∴ ∴ PQ//平面AA1D1D
(2)解法一:
取AB中点,CC1中点连、、,则,
∴ 即为AM与CN所成的角
在中,
,由余弦定理得
∴ AM与CN所成的角为。
解法二:
以D为原点建立空间直角坐标系,使下列各点坐标为A(1,0,0),M(1,,1),N(1,1,),C(0,1,0)
∴ ,
∴
∴ AM与CN所成的角为
(3)解法一:
能找到点H。∵ ∴ BH在底面的射影为BD,则BH⊥EF恒成立,若BH⊥平面BEF,则HB⊥B1F必成立。设H在BB1C1C内射影为H1,必成立。
易证,∴ ,即H1是CC1中点。
∴ H也必是DD1中点,∴ 这样的点存在且是DD1之中点。
解法二:
以D为原点建立空间直角坐标系,设H坐标为(0,0,),B1(1,1,0),B(1,1,0),F(,1,0),BH⊥EF恒成立(如解法一)
若BH⊥平面B1EF,则BH⊥B1F。即
又,
∴ 即
∴ ,故存在点H是DD1之中点