直线与平面垂直

1. 直线与平面垂直的判定

(1)判定

(2)定义

2. 直线与平面垂直的性质

(1)

(2)

(3)*

(4)*

(5)*

[典型例题]

[例1] 已知，，求证：。

证明：

过作平面　　 　　∴ 　

∴ 　　∴

[例2] 已知，，，求证：。

证明：

假设，过A作AD∥　　 ∵ 　　∴ AD⊥

确定平面　　

与已知矛盾　　 ∴ 假设不成立　 ∴

[例3] ，，，求证：。

证明：

　 过A作AB∥a交于B　　 ∵ 　　∴

　 确定平面　

[例4] 以AB为直径的圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

解：

面AEF

[例5] 四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，试判断的形状。

解：

，，

　　　　　

为锐角，同理内角均为锐角

[例6] 求证，两条异面直线的公垂线有且只有一个。

证明：存在性

过作平面，使，，E为上一点，过E作EF⊥于F

BE∩EF=E确定平面

过A作AB∥EF交于B　 ∴ AB为公垂线

唯一性，假设存在CD为异面直线、公垂线

∴ A、B、C、D共面、共面与已知矛盾

∴ 假设不成立　 ∴ 公垂线有且仅有一条

[例7] 求证四个角是直角的四边形为矩形。

证明：四边形ABCD四个角均为

(1)AB、CD共面，显然成立

(2)假设AB、CD为异面直线

∴ AD、BC为AB、CD的公垂线

与两条异面直线的公垂线有且仅有一条矛盾

假设不成立　　 ∴ ABCD四点共面　　 ∴ ABCD为矩形

[模拟试题]

1. 下面结论有(　　 )个正确的。

① 过定点一点作与已知直线平行的平面有且仅有一个

② 过定点一点作与已知直线垂直的平面有且仅有一个

③ 过定点一点作与已知平面平行的直线有且仅有一条

④ 过定点一点作与已知平面垂直的直线有且仅有一条

A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

2. 已知直线、、，平面、，下列结论正确的是(　　 )

A. 　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　 D.

3. 是否存在四个面均为的四面体？

4. 四面体P-ABC中PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB