点到直线的距离；

　　 点关于点、关于直线的对称点；

　　 直线关于点、关于直线的对称直线；

　　 直线方程复习；

1. 点到直线距离公式及证明

　　

　　 关于证明：

　　 根据点斜式，直线PQ的方程为(不妨设A≠0)

　　

　　

　　 解方程组

　　

　　

　　 这就是点Q的横坐标，又可得

　　

　　　　　

　　

　　 所以，

　　

　　　 。

　 　这就推导得到点P(x₀，y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离公式。

　　 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。

　　 下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。

　　 设点Q的坐标为(x₁，y₁)，则

　　

　　 把方程组作变形，

　　

　　 把①，②两边分别平方后相加，得

　　

　　

　　 所以，

　　

　　 所以，

　　

　　　

　　 此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下：

　　

　　

　　 把③、④两式左右两边分别相减，得

　　

　　 由向量的数量积的知识，知

　　

　　 这里n=(A，B)。所以n=(A，B)是与直线l垂直的向量。

　　

　　

　　 (如图所示)

　　

　　

　　 (如图所示)

　　 所以，都有

　　

　　 因为

　　

　　 所以

　　

　　　

　　　

　　　

　　

2. 平行线间的距离公式

3. 点关于点的对称点(中点坐标公式)

4. 已知P₀(x₀，y₀)直线l：Ax+By+C=0(B≠0)

　　

　　

　　

　　 特别地关于特殊直线的对称点。

　　 (x轴、y轴、直线y=x，直线y=－x)

5. 直线l关于点P₀(x₀，y₀)对称直线(三种方法)

6.

　　 特别地直线l关于特殊直线y=±x+b的对称直线。

[典型例题]

　 例1.

　　 解法一：

　　

　　

　　

　　

　　 ∴c=32或c=－20，

　　

　　 解法二：设所求直线的方程为

　　

　　 由两平行直线间的距离公式，

　　

　　

　　 故所求直线的方程为

　　

　　 小结：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。也可以直接套两平行

　 例2. 已知正方形的中心为G(－1，0)，一边所在直线的方程为x+3y－5=0，求其他三边所在的直线方程。

　　 解：正方形中心G(－1，0)到四边距离均为

　　

　　 设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c₁=0。

　　

　　

　　 故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0

　　 设正方形另一组对边所在直线的方程为3x－y+c₂=0。

　　

　　

　　

　　 所以正方形另两边所在直线的方程为：

　　

　　 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：

　　

　　 小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程。

　 例3.

　　 解法一：

　　 ∴点(1，0)为两已知直线的交点。

　　 设所求直线的斜率为k，由一条直线到一条直线的角的公式，

　　

　　 故所求直线方程为

　　

　　 解法二：由解法一知两已知直线的交点为A(1，0)。

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 解法三：设P(x，y)是所求直线上的任一点，P关于直线x+y－1＝0对称的点为P₀(x₀，y₀)，

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

解法四：直线x+y－1=0　　 k=－1

　　 由x+y－1=0代入x－2y－1=0得

1－y－2(1－x)－1=0

2x－y－2=0即为所求。

　　 小结：求直线l关于直线l₁对称的直线的方程，只要在l上取两点A、B，求A、B关于l₁的对称点A'、B'，然后写出直线A'B'的方程即为所求。解法二和解法三中，都用到了求一个点P关于某直线l的对称点P₀的问题。这个问题的解法就是根据：①直线P₀P与直线l垂直；②线段P₀P的中点在直线l上，列出方程组解出x₀、y₀，代入x₀、y₀所满足的方程，整理即得所求直线的方程。

　 例4.

截距相等的直线方程。

　　 解法一：

　　

　　 ∴两已知直线的交点为(－4，3)。

　　 当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等。

　　

　　

　　

　　 因为点(－4，3)在直线x+y=a上，

　　

　　

　　

　　 解法二：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 小结：解法一设直线的截距式时注意了截距为0的情形。故而没有直接设成

　 例5.

列条件的a、b的值。

　　 (1)直线l₁过点(－3，－1)，并且直线l₁与直线l₂垂直；

　　 (2)直线l₁与直线l₂平行，并且坐标原点到l₁、l₂的距离相等。

　　 分析：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。

　　 解：

　　

　　 又点(－3，－1)在l₁上，

　　

　　 由①、②解得a=2，b=2。

　　 (2)∵l₁∥l₂且l₂的斜率为1－a。

　　 ∴l₁的斜率也存在，

　　

　　 故l₁和l₂的方程可分别表示为

　　

　　

　　 ∵原点到l₁和l₂的距离相等，

　　

　　

　　 小结：在(2)中由于l₁∥l₂，l₂有斜率，从而得出l₁有斜率，即b≠0。

　 例6.

最小值时x的值。

　　 解：

　　　　　　　

　　 它表示点P(x，0)与点A(1，1)的距离加上点P(x，0)与点B(2，2)的距离之和，即在x轴上求一点P(x，0)与点A(1，1)、B(2，2)的距离之和的最小值。

　　 由下图可知，转化为求两点A'(1，－1)和B(2，2)间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。

　　

　　

　　

　　 小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。

　 例7. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

　　 证明：建立如图所示的坐标系，

　　 A(a，0)，B(0，b)，C(－a，0)，(a＞0，b＞0)，

　　

　　

　　 设底边AC上任意一点为P(x，0)(－a≤x≤a)，

　　

　　

　　

　　

　　 ∴原命题得证。

　 例8. 等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在直线l经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标。

　　 解：设直角顶点为C，C到直线y=3x的距离为d，

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　 例9.

　　 (1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；

　　 (2)过定点M作一条直线l₁，使l₁夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求l₁的方程；

　　 (3)若直线l₂过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小，求l₂的方程。

　　 解：

　　

　　

　　 它与x轴、y轴分别交于A(a，0)，B(0，b)。

　　 ∵M为AB中点，由中点坐标公式得a=－2，b=－4，

　　

　　

　　

　　

　　 当且仅当k＝－2时，围成的三角形面积最小，

　　

[模拟试题]

1. 已知直线l经过点P(5，10)，且原点到它的距离为5，则直线l的方程为_________。

2. ，则点P(1，1)到直线的最大距离是______________。

3. 已知点P(1，)到直线，则_____________。

4. 如图，已知正方形ABCD的中心为E(－1，0)，一边AB所在的直线方程为，求其他三边所在直线的方程。

5. 求平行线的距离。

6. 求过点A(－1，2)且与原点的距离为的直线方程。

7. 求过点P(1，2)且被两平行直线截得的线段长为的直线方程。

8. 求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l方程。

9. 原点关于直线的对称点坐标是(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 C. 　　　　　 D. (4，3)

(1991年全国高考题)