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1. 点到直线距离公式及证明
关于证明:
根据点斜式,直线PQ的方程为(不妨设A≠0)
解方程组
这就是点Q的横坐标,又可得
所以,
。
这就推导得到点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式。
如果A=0或B=0,上式的距离公式仍然成立。
下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。
设点Q的坐标为(x1,y1),则
把方程组作变形,
把①,②两边分别平方后相加,得
所以,
所以,
此公式还可以用向量的有关知识推导,介绍如下:
把③、④两式左右两边分别相减,得
由向量的数量积的知识,知
这里n=(A,B)。所以n=(A,B)是与直线l垂直的向量。
(如图所示)
(如图所示)
所以,都有
因为
所以
[试题答案]
1.
提示:(1)当直线l的斜率存在时,可设l的方程为。
根据题意,得
∴所求的直线l的方程为。
(2)当直线l的斜率不存在时,直线的倾斜角为,即直线l与x轴垂直。
根据题意,得所求直线l的方程为。
2.
提示:点P(1,1)到直线的距离为
。
∵
最大。
3. 提示:
由得,
。
4. 解:可设CD所在直线方程为:
。
∵点E在CD上方,∴m=-17。经检验不合题意,舍去。
∴m=7,∴CD所在直线方程为。
∵AB⊥BC,
∴可设BC所在直线方程为,
则,∴n=9或-3。
经检验,BC所在直线方程为
AD所在直线方程为。
综上所述,其他三边所在直线方程为。
5. 分析:在直线上任取一点,求这点到另一直线的距离。
解:在直线上任取一点,如P(3,0),
则点P(3,0)到直线的距离就是两平行线间的距离。
因此。
[注意]
用上面方法可以证明如下结论:
一般地,两平行直线和间的距离为。
6. 分析:设直线的点斜式方程,利用点到直线的距离公式求出斜率k。
解:设直线方程为,则。
∴,解之得
故所求直线的方程为或,
即。
7. 分析:先画图,由图形易求得两平行直线间的距离为1,则所求直线与两平行直线成45°角,则由夹角公式求得所求直线的斜率。
解:易求得两平行直线间的距离为1,则所求直线与两平行直线成45°角,
设所求直线的斜率为k,则,
解之得。
∴所求直线方程为。
[注意]
在寻求问题解的过程中,数形结合可优化思维过程。
8. 分析:画图分析,可知符合题意的直线l有2条。
解:画图分析,可知符合题意的直线l有2条。其一直线经过AB的中点;其二直线与AB所在的直线平行。又由AB的中点为(-1,1)得所求直线为;当所求直线与AB所在的直线平行时,得所求直线方程为。
9. 解:直线,与它垂直的直线斜率为,因此原点关于此直线对称的点应在直线上。
对照选项,只有(4,3)在直线上,故选D。
[评注]
本题考查直线方程和对称点的有关知识。