高考理科数学模拟试题(理科1)参考答案

数学试题参考答案和评分标准(理科1)

一、选择题(每题5分，共40分)

序号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	A	B	D	B	C	A	D	C

二、填空题(每题5分，共30分)

9．.　　 10．3m与1.5m.　　　 11．.

12．(或为正整数).注：填以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分；

若填或可给3分.

13．. 　　14．<.

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

15. 解：(1) ……………………………………………………2分

　 ………………………………………………………………………………………………4分

. …………………………………………………………………………………………………………6分

的最小正周期是. …………………………………………………………………………………………………7分

(2) ∵，∴　…………………………………………………………………8分

∴当即时，函数取得最小值是. ………………………10分

∵，∴. …………………………………………………………………………………………………12分

16. 方法一：(2) 证明：当为中点时，，从而为等腰直角三角形，则，同理可得，∴，于是，…2分

又，且，∴，…………………………………………4分

∴，又，∴. …………………………………………………6分

(也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理)

(2) 如图过作于，连，则，

∴为二面角的平面角. ………8分

设，则.

于是　…………………………………………………………10分

，有

解之得。

点在线段BC上距B点的处. …………………………………………………………………………12分

方法二、向量方法.以为原点，所在直线为

　轴，建立空间直角坐标系，如图. …………………………1分

(1)不妨设，则，

从而，………………………4分

于是，

所以所以　 …………………………………………………………………………………6分

(2)设，则，

则.………………………………………………………………………………8分

易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则应有

　即解之得，令则，，

从而，………………………………………………………………………………………………………10分

依题意，即，解之得(舍去)，

所以点在线段BC上距B点的处.…………………………………………………………………12分

17. 解：(1)由，令，则，又，所以.

，则.　　 ……………………………………………………………………………………2分

当时，由，可得.

即.　 …………………………………………………………………………………………………………………………4分

所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.　　 …………5分

(2)数列为等差数列，公差,可得. ………………7分

从而. ……………………………………………………………………………………8分

∴　 ……………10分

∴.　 …………………11分

从而.　 　 …………………………………………………………………………14分

18.(1)如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：，　 ………………………………………………2分

即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，　 ∴ 动点的轨迹方程为　………………………5分

(2)由题可设直线的方程为，

由得　　　

　　 △，　 ………………………………………………………………………………7分

设，，则，……………………………………………9分

　　 由，即 ，，于是，……11分

即，，

　　 ，解得或(舍去)，…………………………………13分

又，　　 ∴ 直线存在，其方程为　………………………………………14分

19. 解：(1)这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是(或)，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是。根据乘法原理，满足条件的种数是。　…………………………………………………………………………………………………………………………………4分

这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有。　………………………………5分

故所求的概率.　………………………………………………………………………………6分

(2) 变量y与x、z与x的相关系数分别是

、.

可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. 　…………………………8分

(3) 设y与x、z与x的线性回归方程分别是、.

根据所给的数据，可以计算出，

.　　 ……………………………………………………10分

所以y与x和z与x的回归方程分别是

、.　 …………………………………………………………11分

又y与x、z与x的相关指数是、.　……13分

故回归模型比回归模型的拟合的效果好. …14分

20. (Ⅰ)由，得　……………………………………2分

函数为上单调函数. 若函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.　　 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………4分

令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. …………………………………………………………6分

(Ⅱ)证明：由　得

　　 ……………………………………………………………………………7分

　 ………………………………………………………………8分

　　 而　 ①　 ………………………………………10分

　　　 又，　 ∴　 ② …………11分

∵　　 ∴，

∵　 ∴　 ③　 ……………………………………………………………………13分

由①、②、③得

即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分