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题目所在试卷参考答案:

数学试题参考答案和评分标准(理科1)

一、选择题(每题5分,共40分)

序号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
C
A
D
C

二、填空题(每题5分,共30分)

9..   10.3m与1.5m.    11..

12.(或为正整数).注:填以及是否注明字母的取值符号和关系,均不扣分;

若填可给3分.

13..   14.<.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15. 解:(1) ……………………………………………………2分

  ………………………………………………………………………………………………4分

. …………………………………………………………………………………………………………6分

的最小正周期是. …………………………………………………………………………………………………7分

(2) ∵,∴ …………………………………………………………………8分

∴当时,函数取得最小值是. ………………………10分

,∴. …………………………………………………………………………………………………12分

16. 方法一:(2) 证明:当中点时,,从而为等腰直角三角形,则,同理可得,∴,于是,…2分

,且,∴,…………………………………………4分

,又,∴. …………………………………………………6分

(也可以利用三垂线定理证明,但必需指明三垂线定理)

(2) 如图过,连,则

为二面角的平面角. ………8分

,则.

于是 …………………………………………………………10分

,有

解之得

在线段BC上距B点的处. …………………………………………………………………………12分

方法二、向量方法.以为原点,所在直线为

 轴,建立空间直角坐标系,如图. …………………………1分

(1)不妨设,则

从而,………………………4分

于是

所以所以  …………………………………………………………………………………6分

(2)设,则

.………………………………………………………………………………8分

易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为,则应有

 即解之得,令

从而,………………………………………………………………………………………………………10分

依题意,即,解之得(舍去),

所以点在线段BC上距B点的处.…………………………………………………………………12分

17. 解:(1)由,令,则,又,所以.

,则.   ……………………………………………………………………………………2分

时,由,可得.

.  …………………………………………………………………………………………………………………………4分

所以是以为首项,为公比的等比数列,于是.   …………5分

(2)数列为等差数列,公差,可得. ………………7分

从而. ……………………………………………………………………………………8分

  ……………10分

.  …………………11分

从而.    …………………………………………………………………………14分

18.(1)如图,设为动圆圆心, ,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:,  ………………………………………………2分

即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,  ∴ 动点的轨迹方程为 ………………………5分

(2)由题可设直线的方程为

   

   △  ………………………………………………………………………………7分

,则……………………………………………9分

   由,即 ,于是,……11分

   ,解得(舍去),…………………………………13分

,   ∴ 直线存在,其方程为 ………………………………………14分

19. 解:(1)这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀,则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应,种数是(或),然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应,种数是。根据乘法原理,满足条件的种数是。 …………………………………………………………………………………………………………………………………4分

这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有。 ………………………………5分

故所求的概率. ………………………………………………………………………………6分

(2) 变量yxzx的相关系数分别是

.

可以看出,物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关.  …………………………8分

(3) 设yxzx的线性回归方程分别是.

根据所给的数据,可以计算出

.   ……………………………………………………10分

所以yxzx的回归方程分别是

.  …………………………………………………………11分

yxzx的相关指数是. ……13分

故回归模型比回归模型的拟合的效果好. …14分

20. (Ⅰ)由,得 ……………………………………2分

函数为上单调函数. 若函数为上单调增函数,则上恒成立,即不等式上恒成立. 也即上恒成立.   ……………………………………………………………………………………………………………………………………………4分

,上述问题等价于,而为在上的减函数,则,于是为所求. …………………………………………………………6分

(Ⅱ)证明:由 得

   ……………………………………………………………………………7分

  ………………………………………………………………8分

   而  ①  ………………………………………10分

    又,  ∴  ② …………11分

   ∴

  ∴  ③  ……………………………………………………………………13分

由①、②、③得

,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分