12.
A-83答案
1、
，
，
.
2、
与
的夹角为120°，
.
3、
，
.
4、证法一：设
与
的夹角为
.
(1)当
时，等式显然成立；
(2)当
时，
与，与
的夹角都为，
所以 
所以 
；
(3)当
时，与，与的夹角都为
，
则 
所以 ；
综上所述，等式成立.
证法二：设
，
，
那么 
所以 ；
5、(1)直角三角形，
为直角.
证明：∵
，
∴
∴
，为直角，
为直角三角形
(2)直角三角形，
为直角
证明：∵
，
∴
∴
，为直角，为直角三角形
(3)直角三角形，为直角
证明：∵
，
∴
∴，为直角，为直角三角形
6、
.
7、
.
，于是可得
，
，所以.
8、
，
.
9、证明：∵
，
，
∴
，
∴
为顶点的四边形是矩形.
10、解：设
，
则
，解得
，或
.
于是
或
.
11、解：设与垂直的单位向量
，
则
，解得
或
.
于是
或
.
12、(1)勾股定理：
中，
，则
证明：∵
∴
.
由，有
，于是
∴
(2)菱形
中，求证：
证明：∵
，
∴
.
∵四边形为菱形，∴
，所以
∴
，所以
(3)长方形中，求证：
证明：∵
四边形为长方形，所以
，所以
∴
.
∴
，所以
，所以
(4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2)(3)的证明即可.