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12.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外一点O,当=2--时,点P是否与A、B、C共面?
答案
1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.B
7. 8.a+b+c
9.1
10.解 因为=-=e1-4e2,
=2e1+ke2,又A,B,D三点共线,
由共线向量定理得=,
所以k=-8.
11.证明 ∵=++,
∴=++
=+(-)+(-)
=++,
∴-=+,
∴=+,
∴向量、、共面,而线段AP、AB、AC有公共点,
∴P、A、B、C四点共面.
12.证明 若P与A、B、C共面,则存在惟一的实数对(x,y)使=x+y,于是对平面ABC外一点O,有-=x(-)+y(-),
∴=(1-x-y)+x+y,
比较原式得,此方程组无解,这样的x,y不存在,所以A、B、C、P四点不共面.
13.证明 设=a,=b,=c,
∵四边形B1BCC1为平行四边形,
∴=c-a,又O是B1D1的中点,
∴=(a+b),
∴=-(a+b),
=-=b-(a+b)
=(b-a).
∵D1D綊C1C,所以=c,
∴=+=(b-a)+c.
若存在实数x、y,使=x+y (x,y∈R)成立,则
c-a=x+
y
=-(x+y)a+(x-y)b+xc.
∵a、b、c不共线,∴
得
∴=+,∴、、是共面向量.