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12.设函数在内有定义,对于给定的正数,定义函数:,取函数(>1),当时,函数值域是______ .
十二参考答案
一、填空题:
1.答案: 解析:,∴ = .
2.答案: 解析:令,∴.
3.答案: 解析:由图即求.
4.答案:3 解析:直线6x+8y+6=0可变形为3x+4y+3=0,则PQ的最小值即两平行线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0间的距离d,又d==3,所以PQ的最小值为3.
5.答案:4 解析:,此时P= 4.
6.答案: 解析 古典概型,穷举法,分公差为0,±1,±2五种情形,成等差数列时共18种.
7.答案: 解析:,∴.
8.答案: 解析:由韦达定理,∴,又q ∈(,p),∴ ∴.
9.答案: 解析: ,由叠加法可得,∴=.
10.答案: 解析:两图象的对称轴完全相同,则两函数的周期相同,∴,∵x∈,∴f(x)=3sin .
11.答案: 解析:由题目所给的不等式组可知,其表示的平面区域如图所示,这里直线y=kx+只需要经过线段AB的中点D即可,此时D点的坐标为(,),代入即可解得k的值为.
12.答案: 解析:>1时,,当时,若,则;若,则.
13.答案:外 解析:,
∴,∴,∴,
∴,∴M在BC的垂直平分线上,∴M点的轨迹过△ABC的外心.
14.答案:a≥1 解析:不等式即为a≥+,在x∈(,2)上恒成立.而函数
=+=,则在(,2)上的最大值为1,所以a≥1.
二、解答题:
15.解:(1)因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为:
f1=1-(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10=0.1,∴低于50分的人数为60×0.1=6(人).
(2)依题意,成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于50分的为第一组),频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75.即抽样学生成绩的合格率是75%.
答:估计这次考试物理学科及格率约为75﹪.
(3)“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9.所以从成绩不及格的学生中选两人,他们成绩至少有一个不低于50分的概率为P=1-=.
答:至少有一个不低于50分的概率为.
16.解:(1),,
∴=
∴函数取得最大值为,相应的自变量x的取值集合为{x|(Z)}.
(2)由得,即
因为,所以,从而 ,于是.
17.解:(1)l2即2x-y-= 0,
∴l1与l2的距离d ===,
∴|| =,由a>0解得a = 3.
(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线:2x-y+c = 0上.
且=×,解得c =或c =,∴2x0-y0+= 0或2x0-y0+= 0;
若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,有
=.,即|| = ||,
∴x0-2y0+4= 0或3x0+2 = 0;
由P在第一象限,显然3x0+2 = 0不可能,
联立方程2x0-y0+= 0和x0-2y0+4= 0,解得(舍去),
联立方程2x0-y0+= 0和x0-2y0+4= 0,解得,
∴点P(,)即为能同时满足三个条件的点.
18.解:(1)由4-ax≥0,得ax≤4.当a>1时,x≤loga4;当0<a<1时,x≥loga4.
即当a>1时,f(x)的定义域为(-∞,loga4];当0<a<1时,f(x)的定义域为[loga4,+∞).
令t=,则0≤t<2,且ax=4-t2,∴ f(x)=g(t)=4-t2-2t-1=-(t+1)2+4,
当t≥0时,g(x)是t的单调减函数,∴g(2)<g(t)≤g(0),即-5<f(x)≤3,∴ 函数f(x)的值域是.
(2)若存在实数a,使得对于任意,都有f(x) ≤0,则区间是定义域的子集.
由(1)知,a>1不满足条件;所以0<a<1,且loga4≤-1, 即.
令t=,由(1)知,f(x)=4-t2-2t-1=-(t+1)2+4,
由,解得(舍)或,即有解得,
由题意知对任意,有恒成立,因为0<a<1,所以对任意,都有 .所以有,解得,即.∴存在,对任意,都有f(x) ≤0.
19.解:(1) 由题可得∠AOB=π,∠BAO为锐角,sin∠BAO=⇒cos∠BAO=,
cos∠OBA=cos(-∠BAO)=.+.=.
(2) OA=3,S=OB.OAsin∠AOB=OB.3.sinπ=, 解得OB=5.
由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA.OBcosπ=9+25+15=49, ∴ AB=7(km).
(3) ∵ AB.4=OA.OB.sin∠AOB,∴ OA.OB=AB,
∴AB2=OA2+OB2-2OA.OBcosπ=OA2+OB2+OA.OB ≥2OA.OB+OA.OB=3OA.OB=3.AB,
∴ AB2≥8AB,∴ AB≥8(等号成立OA=OB=8).
20.解:(1)当时,计算得数列的前8项为:1,1,2,2,4,4,8,8.
从而猜出数列、 均为等比数列.
∵,
∴数列、均为等比数列,∴.
①∴,,∴
②证明(反证法):假设存在三项是等差数列,即 成立.因均为偶数,设,,,(),
∴即
∴,而此等式左边为偶数,右边为奇数,这就矛盾.
(2)∵,∴,∴是首项为,公比为2的等比数列,∴.
又∵,∴,∴是首项为,公比为2的等比数列,∴.
∴ ,
∴
.
∵,∴.∴.