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17. (本小题满分14分)
已知函数.
(1)作出函数的图象,并写出的值域;
(2)用定义证明函数在区间上是减函数.
高一数学暑假自主学习单元检测九参考答案
一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分.
1. . 解析:略.
2. . 解析:依据偶函数的定义即可求得.
3. .解析:,,
4. 0或或. 解析:.①当时,,满足;②当时,,由得或,综上a的值为0或或.
5. . 解析:当时,,
6. 或. 解析:是开口向上的二次函数,由题可知,区间在对称轴的同侧,从而或,即或.
7. 解析:
8. . 解析:法一:∵f (-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8 = -32-8a + 2b – 8 = -40 - 8a + 2b = 10
∴8a - 2b = -50 ∴ f ( 2 ) = 25 + 23a - 2b – 8 = 8a - 2b + 24 = -50 + 24 = -26
法二:令g ( x ) = f ( x ) + 8易证g ( x )为奇函数
∴ g ( -2 ) = - g ( 2 ) ∴ f ( -2 ) + 8 = - f ( 2 ) - 8
∴ f ( 2 ) = - f ( -2 ) – 16 = - 10 – 16 = -26.
9. . 解析:法一:,,,,即的值域为;法二:设,则,由可以推得, ,即的值域为.
10. . 解析:由可得,,又是偶函数,其图象关于直线对称,由周期知图象也关于直线对称. 由在区间上为递增得在区间上递增,在区间上递减,从而.
11. . 解析:由得,, .
12. . 解析:∵ f ( a – 1 ) < f ( a ) ∴ f ( | a – 1 | ) < f ( | a | )
而 | a – 1 | ,| a | ∈ [ 0,3 ]
.
13. . 解析:作出函数图象,可以看出要确保函数在上单调递增,必须有,故有.
14. . 解析:由题可设,,由周期性可知,,,,同理,,,…,,,,故函数在上的值域为。
二、解答题:本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:(1)由可得函数的定义域为,则,
∵ ∴ 为奇函数.
(2)∵ x∈R,f ( x ) = - x | x | + x
∴f ( - x ) = - ( - x ) | - x | + ( - x ) = x | x | - x = - f ( x ),∴f ( x )为奇函数;
16. 解:
(1)
①当,即时,,满足;
②当,即时,,由得,即.故或.
(2) ,而C集合最多两个元素,
所以,从而
(3)
①若,则,解得;
②若,则,即,无解;
③若,则,即,无解;
④若,则.
综上所述,的取值范围为或.
17. 解:(1)图象略;值域为;
(2)证明:设x1,x2是区间上的任意实数,且x1<x2,则
∵ 0 < x1 < x2 ≤ 1 ∴ x1 - x2 < 0,0 < x1x2 < 1
即f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 ∴ x1 < x2时有f ( x1 ) > f ( x2 )
函数在区间上是减函数.
18. 解:(1) ∵ f ( x ) = ( x – a )2 – 1 ∴ a ≤ 0 或 a ≥ 2
(2)1°当a < -1时,如图1,g ( a ) = f ( -1 ) = a2 + 2a
2°当-1 ≤ a ≤ 1时,如图2,g ( a ) = f ( a ) = -1
3°当a > 1时,如图3,g ( a ) = f ( 1 ) = a2 - 2a
,
函数的图象如右图
19. 解:(1)令,,
令,,,为奇函数;
(2)是定义在上的奇函数, 令,则
在上为单调递增函数;
(3)在上为单调递增函数,,使对所有恒成立,只要,即
令,要使恒成立,则,
20. (Ⅰ)解:∵, ∴ m=0,∴
设,
(Ⅱ) ∵是方程的两个实根,
∴.∴,同理,
∴.