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19、设F是抛物线的焦点,过点A(-1,0)斜率为k的直线与C相交M、N两点.
(1)设的夹角为120°,求k的值;
(2)设的取值范围
参考答案
一、选择题:ACDBD BAABA
二、填空题:11、 12、(1,2) 13、 14、124
三、解答题:
15、(1)∵a2+c2-b2=
∴cosB=
∴sin2[1-cos(A+C)]+[2cos2B-1]
=[1+cosB]+[2cos2B-1]
=[1+]+[2×]
=-
(2)由cosB=得:sinB= ∵b=2
∴a2+c2=ac+4≥2ac(当且仅当a2=c2=时取“=”号)
∴ac≤ ∴S△ABC=ac.sinB≤××=
故:△ABC面积的最大值为
16、(1)∵,∴,即.
∴.
由,得或; 由,得.
因此,函数的单调增区间为,;单调减区间为.
在取得极大值为;在取得极小值为.
由∵, 且
∴在[-,1]上的的最大值为,最小值为.
(2) ∵,∴.
∵函数的图象上有与轴平行的切线,∴有实数解.
∴,∴,即 .
因此,所求实数的取值范围是.
17、(1)证明:∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥DC
∵DC⊥AD且AD∩PA=A
∴DC⊥面PAD
∵DC面PDC
∴平面PDC⊥平面PAD
(2)证明:取PD中点F,连接EF,FA。
∴E为PC中点,∴在△PDC中:EFDC∴EFAB
∴四边形ABEF为平行四边形,即:BE∥AF
∵AF面PAD且BE面PAD
∴BE∥平面PAD
(3)解:连接AC,取AC中点O,连接EO。
在△PAC中:EO PA
∴EO⊥面ABC
过O作OG⊥BD交BD于G,连接EG。
由三垂线定理知:∠EGO为所求二面角E-ED-C的平面角
设PA=AD=CD=2a,AB=a,∴EO=a
连DO并延长交AB于B′,则四边形AB′CD为正方形,且B′B=a,O为DB′中点,过B′作B′G′⊥DB交BD于G′.
∴OG=B′G′=BB′sin∠B′BG′=BB′.sin∠ABD
=a.
在△EOG中:tan∠EGO=
故:二面角E-BD-C的平面角的正切值为
18、(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为:
P1=
(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:
P2=
(3)设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0,1,2,3
P(ξ=0)=
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
P(ξ=3)=
∴ξ的分布列为:
ξ |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
|
|
|
|
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
19、(1)过点A(-1,0)斜率为k的直线为
将
设 ……………
………………
………
因为cos
解得8k‑2=2,所以,k=.(此时直线与抛物线有两个交点) ……………
(2)由题设
|
|
由②得……③
由①、③得…………
所以, ………………
因为 ………………
注意到得
, ………………
所以的取值范围是
20、(1),又,数列是等差数列.
(2)由题意得,,∴……①,……②,②-①得,,∴ ,,,…;,,,…都是等差数列,∴ ,, ∴
(3)当为奇数时,、,∴;当为偶数时,、,∴.作轴于,则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须.当为奇数时,有,当时,;当时,;当时,方程无解.当为偶数时,有,同理可求得.
综上所述,上述等腰三角形中可能存在直角三角形,此时的值为或或.