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A.△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于C,
弦BD∥MN,AC、BD交于点E
(1)求证:△ABE≌△ACD
(2)AB=6,BC=4,求AE
B.求点P(2,)到直线的距离。
C.已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:|ac+bd|≤1.
参考答案
一、选择题:(每小题5分,共60分)
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
答案 |
B |
A |
B |
D |
D |
D |
A |
A |
D |
B |
B |
C |
|
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.90° 14. m<且m≠- 15. 12 16.
三、解答题
17.(12分) (3分)
sinsin+coscos= (6分)
cos(-)= (8分)
(10分)
∴sin(-)=- (12分)
18.(12分) (1)略 (6分) (2)不垂直 (12分)
方法一:求出EF=,BE=,取EC中点G,BG=2,GF=1,BF=
∴△BEF是等腰三角形
∴EF与BF不垂直
∴EF与平面BDC不垂直。
方法二:向量法,如图建立坐标系
E(0,0,0),F(1,1,0),B(0,1,2),C(0,2,0)
=(1,1,0),=(0,1,2)
∴EF与BC不垂直 ∴EF与平面BDC不垂直。
19.(12分)
(1)方法一:直线亘这定点P(0,1) (2分)
而P(0,1)在椭圆C内 (3分)
∴与C恒有两个不同交点 (4分)
方法二:由 (2分)
△=(2m)2+4×3×(4+m2)>0 (3分)
∴与C恒有两个不同交点 (4分)
(2)方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)则
(6分)
x1+x2+=0(∵x1≠x2)
x1+x2=2x,y1+y2=2y,k=m (8分)
∴x+m=0 (9分)
又y=mx+1 (10分)
消去m得4x2+(y-)2= (12分)
∴M点轨迹方程为4x2+y2-y=0(y≠0)
方法二:由(4+m2)x2+2mx-3=0
(10分)
消去m得4x2+y2-y=0(y≠0)
∴M点轨迹方程为4x2+y2-y=0(y≠0) (12分)
20.(14分)
(1)P1=,P2=,P3=
(2)Pn+2-Pn+1=
∴
∴{Pn+2-Pn+1}是公比为-的等比数列 (10分)
(3) Pn+2-Pn+1=(P2-P1).(-)n-1=(-)n+1
P2-P1=(-)2,P3-P2=(-)3,……,Pn-Pn-1=(-)n
相加:Pn-P1=(-)2+(-)3+…+(-)n=[1-(-)n-1]
∴Pn= (14分)
21.(14分)
(1)f′(x)=4+2ax-2x2,由题意f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立 (2分)
∴∴A=[-1,1] (5分)
(2)方程f(x)=2x+x3可化为x(x2-ax-2)=0
∵x1≠x2≠0, ∴x1,x2是x2-ax-2=0两根 (7分)
△=a2+8>0,x1+x2=a,x1x2=2
∴|x1-x2|=
∵-1≤a≤1 ∴|x1-x2|最大值是 (10分)
∴m2+tm+1≥3在t∈[-1,1]上恒成立
令g(t)=mt+t2-2
∴
m≥2或m≤-2 (14分)
故存在m值,其取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞)
四、选考题:(10分)
A.(1)△ABE≌△ACD (5分)
(2)△ABC∽△BEC
∴ (8分)
∴AE= (10分)
B.P(2,) P() (3分)
x-y+2=0 (7分)
D= (10分)
C.设a=cos,b=sin,c=cos,d=sin (4分)
|ac+bd|=|coscos+sinsin| (6分)
=|cos(-)|≤1 (10分)
方法二:只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) (6分)
即证:2abcd≤a2d2+b2c2 (8分)
即证:(ad-bc)2≥0
上式显然成立
∴原不等式成立。 (10分)