答案
一、选择题(每小题5分,共60分):
(1).D (2).C(3).C (4).A(5).B(6).C (7).D (8).D (9).C (10).B (11).A (12).C
二、填空题(每小题4分,共16分)
(13).1 ; (14).0; (15). 17和-11 ;(16). ①②④
三、解答题(共74分,按步骤得分)
17. 解:(I)
……3分
……6分
(II)证明一:依题意,只需证明函数g(x)当时是增函数
在
即的每一个区间上是增函数 ……9分
当时,在是增函数 ……10分
则当时,经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。
……12分
证明二:设函数g(x)图像上任意两点
不妨设
…11分
则当时,经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。
18. 证明 ∵M是BC的中点,连结OM, ∴=(+)。
同理由N是AC的中点,得=(+)。
∵=+=(++)
=(-+)=(+),
=+=(++)=(-+)
=(+)=(-)。
∴.=(+).(-)=(-)。
∵||=||,∴.=0,即PM⊥QN。
19.解:(I)由表中数据知(1)鲸沿海岸线方向运行的速度为(km/分钟)。
(2)a、b满足的关系式为。
鲸的运动路线图为
(II)以点A为坐标原点,海岸线AB为x轴,建立直角坐标系,如图,设鲸所在的位
置为点P(x,y),由(I)知。
又B(15,0),依题意知,观测站B的观测区域为
,
又,∴,
即。 ∴。
故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间为分钟。
答:鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。
20. 解:(I) ∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|.
又
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴曲线E的方程为
(II)当直线GH斜率存在时,
设直线GH方程为
得
设
,
又当直线GH斜率不存在,方程为
21. 解:(1)依题意,⊙的半径,
⊙与⊙彼此外切,
两边平方,化简得 ,
即 , ,
,
∴ 数列是等差数列.
(2) 由题设,,∴,即,
,
=
=
.
22. 解:(1)f(x)的定义域是,
由于所有的都是正数,故是单调递增的.
∵ ∴f(x)的定义域是
(Ⅱ)∵
(i=1,2,…)与i无关.
∴ 所有的,,…共线,
该直线过点(a,a),斜率为1-a, ∴ .
当n≥2时,是一个三角形与一个梯形面积之和(如上图所示).梯形面积是
于是 故
(Ⅲ)解法一:结合图像,易见即a≥2时,,
而,即a<2时,
故当1<a<2时,存在正整数n,使得
解法二:假设存在正整数n,使得,
则应有
∵ , ∴
∴ 1<a<2时,存在正整数n,使得成立