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18.已知p:x∈Z, y∈Z,m=x2-y2,q:k∈Z,m=2k+1或m=4k.求证:p是q的充要条件.
集合与简易逻辑参考答案
1.D (验证)若a=-2,则A={1,7,9} I A={3,5}不合条件,若a=2,则A={1,3,9}, I A={5,7},满足条件;若a=8则A={1,3,9},仍符合条件,故选D.
2.B (直接计算)由x2-x>0且x≥1得x>1,故选B.
3.A (验证) I A={-2,-1,-}, I B={-1,-,1,3},故选A.
4.DM=(-∞,m),N =[-1,+∞),由m<-1选D.
5.D(检验)若m=-1则B={1}不合条件,若m=0则B= 符合条件,故选D.
6.A(逐一检验)选A.
7.C 构造函数f (x)=(1-m2)x2+2mx-1, f (0)=-1,开口向上,由f (1)<0得1-m2+2m-1<0m>2或m<0.
8.C 当A2B2C2≠0时,l1∥l2.
9.A 因丁丙乙甲,故丁甲(传递性)
10.C 若Δ=0则4-4a=0,a=1满足条件,当Δ>0时,4-4a>0a<1.综合即得.
11.(例举)M={1,5}, M={2,4}, M={3}, M={1,3,5}, M={2,3,4}, M={1,2,4,5}, M={1,2,3,4,5}7个.
12.a21+a22+a23+…+a22004≠0(偶数次幂之和不等于0).
13.a=-2(画图即知)
14.必要
15.证明:①设t∈A,则存在a、b∈Z,使得t=6a+8b=2(3a+4b)
∵3a+4b∈Z,∴t∈B即aB.
②设t∈B,则存在m∈Z使得x=2m=6(-5m)+8(4m).
∵-5m∈Z,4m∈Z,∴x∈A即BA,由①②知A=B.
16.解:∵ S A={0},∴0∈S但0A,∴x3+3x2+2x=0故x=0,-1,-2
当x=0时,|2x-1|=1, A中已有元素1,
当x=-1时,|2x-1|=3,3∈S;
当x=-2时,|2x-1|=5,但5S
故实数x的值存在,它只能是-1.
17.由条件知B=[1,2],∵AB且A≠B,或者A= , 故方程x2+ax+1=0无实根或者两根满足:1≤x1,x2≤2,当Δ<0时,a 2-4<0-2<a<2,当时,a=-2,故a的取值范围是[-2,2].
18.证明:(1)充分性:∵m=x2-y2=(x+y)(x-y)且x∈Z,y∈Z,而(x+y)与(x-y)具有相同的奇偶性.
故当x+y与x-y都为偶数时,m是4的倍数,即存在k∈Z,使m=4k;
当(x+y)与(x-y)都为奇数时,则其乘积仍为奇数,即存在k∈Z,使m=2k+1,∴pq.
(2)必要性:当m=4k时m=(k+1)2-(k-1)2,故存在整数x=k+1, y=k-1使m=x2-y2;
当m=2k+1时,则m=(k+1)2-k2=x2-y2,∴qp.