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3. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( ) A. B. C. D.
高考数学复习--立体几何测练题参考答案
一、DAADB CBD
二、9.;10. 11.; 12. 13. (或)14.
三、15.(1);(2)奇函数;(3) 0<a<1减函数 a>1增函数
16.证明:(1)连结,在中//,
且平面,平面, .
(2)因为面面,平面面,,
所以,平面,.
又,所以是等腰直角三角形,
且 ,即.
,且、面,∴ 面,
又面,∴ 面面.
17. m<-3或m≥
18. 解法一:(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,则EO∥=C1C,又C1C∥=B1B,所以EO∥=DB,EOBD为平行四边形,ED∥OB. ……2分
∵AB=BC,∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1,BOÌ面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,
∴ED⊥平面ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1,
∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.……7分
(Ⅱ)连接A1E,由AA1=AC=AB可知,A1ACC1为正方形,
∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.
不妨设AA1=2,则AC=2,AB=ED=OB=1,EF==,
tan∠A1FE=,∴∠A1FE=60°.
所以二面角A1-AD-C1为60°. ………14分
解法二:(Ⅰ)如图,建立直角坐标系O-xyz,其中原点O为AC的中点.
设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c).
则C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c). ……3分
=(0,b,0),=(0,0,2c).
.=0,∴ED⊥BB1.
又=(-2a,0,2c),
.=0,∴ED⊥AC1, ……7分
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.
(Ⅱ)不妨设A(1,0,0),则B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),
=(-1,-1,0),=(-1,1,0),=(0,0,2),
.=0,.=0,即BC⊥AB,BC⊥AA1,又AB∩AA1=A,
∴BC⊥平面A1AD.
又 E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1),
=(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0),
.=0,.=0,即EC⊥AE,EC⊥ED,又AE∩ED=E,
∴ EC⊥面C1AD. ……10分
cos<,>==,即得和的夹角为60°.
所以二面角A1-AD-C1为60°. ………14分
19. (Ⅰ)证明:,
.……2分
又,……4分
∴ PD⊥面ABCD………6分
(Ⅱ)解:连结BD,设BD交AC于点O,
过O作OE⊥PB于点E,连结AE,
∵PD⊥面ABCD, ∴,
又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.
∴AO⊥PB,
∵,
∴,从而,
故就是二面角A-PB-D的平面角.……………………10分
∵ PD⊥面ABCD, ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中, ,
又∵, ∴,………………………………………12分
∴ .…………………14分
故二面角A-PB-D的大小为60°.
20.解:
(1)由折起的过程可知,PE⊥平面ABC,,
V(x)=()
(2),所以时, ,V(x)单调递增;时 ,V(x)单调递减;因此x=6时,V(x)取得最大值;
(3)过F作MF//AC交AD与M,则,PM=,
,
在△PFM中, ,∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为;