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4. .
参考答案及评分标准
一、填空题(5分×11=55分)
1. 2.{(1, 1), (-2, 4)} 3.-2 4.
5.27 6.M<P<N 7. 8.必要不充分
9. 10. 11.
二、选择题(5分×4=20分)
12. C 13. C 14. A 15. A
三、解答题(85分)
16.(14分)
(1) ………………………5分
(2) 3=2+1= ………………………9分
因为上是增函数,所以
………………………13分
即x的取值范围是 ………………………14分
17.(14分)
根据题意得,BC=31千米,BD=20千米,CD=21千米,∠CAB=60˚. ………………2分
设∠ACD = ,∠CDB = β .
在△CDB中,由余弦定理得
,……5分
于是. ………………8分
. ………………………11分
在△ACD中,由正弦定理得
………………………13分
答:此人还得走15千米到达A城. ………………………14分
18.(14分)
由题意知,. ………………6分
因为第一个图形的边长为,从第二个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形边长的,所以第n个图形的边长为; ………………9分
因为第一个图形的边数为3,从第二个图形起,每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍,
所以第n个图形的边数为. ………………12分
因此, ………………14分
19.(14分)
(1)当时,原不等式为: . ………………2分
当时, ,即解得; ………………4分
当时,,即解得 . ………………6分
所以,. ………………7分
(2)方法1 当时,令= ………………9分
作函数的图像(如图).
当,的值域为, ………………11分
当,的值域为. ………………13分
所以,当不等式的解集为时,.……14分
方法2 当时,不等式为. ……………8分
若,不等式的解集不可能是; ……………10分
若,不等式为,即x2-x+b>0, ……………11分
由题意知 ……………13分
于是有,解得b=-2. ……………14 分
20.(14分)
,
. ………………3分
准线l的方程:,
所以 解之得 ………6分
于是.
故椭圆方程为. ………………7分
(2)设所求圆的圆心为D,由(1)知椭圆的右准线方程为x=4, ………………8分
因为圆D过点O,F,且与直线x=4相切,
所以可设圆心,半径为,
于是圆D的方程为, ………………11分
因为点O(0,0)在圆D上,
所以,解得,
所求圆的方程为或. ………………14分
21.(15分)
(1)证明:,, ………………2分
,因为,所以.
故 . ………………4分
从而. ………………6分
因为
=,
所以. ………………7分
(2)当时,,. ………………8分
, ①
, ②
①-②, 得
==,
……… ……11分
.
由于,
所以数列是递增数列, ……… ……13分
当n=1时,的最小值为,,所以,存在整数P、Q,使得,P的最大值为0,Q的最小值为2. ……………15分