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9.(磨中)设函数f(x)=logb(b>0且b≠1),
(1)求f(x)的定义域;
(2)当b>1时,求使f(x)>0的所有x的值。
解 (1)∵x2-2x+2恒正,
∴f(x)的定义域是1+2ax>0,
即当a=0时,f(x)定义域是全体实数。
当a>0时,f(x)的定义域是(-,+∞)
当a<0时,f(x)的定义域是(-∞,-)
(2)当b>1时,在f(x)的定义域内,f(x)>0>1x2-2x+2>1+2ax
x2-2(1+a)x+1>0
其判别式Δ=4(1+a)2-4=4a(a+2)
(i)当Δ<0时,即-2<a<0时
∵x2-2(1+a)x+1>0
∴f(x)>0x<-
(ii)当Δ=0时,即a=-2或0时
若a=0,f(x)>0(x-1)2>0
x∈R且x≠1
若a=-2,f(x)>0(x+1)2>0
x<且x≠-1
(iii)当△>0时,即a>0或a<-2时
方程x2-2(1+a)x+1=0的两根为
x1=1+a-,x2=1+a+
若a>0,则x2>x1>0>-
∴或
若a<-2,则
∴f(x)>0x<1+a-或1+a+<x<-
综上所述:当-2<a<0时,x的取值集合为x|x<-
当a=0时,x∈R且x≠1,x∈R,当a=-2时:x|x<-1或-1<x<
当a>0时,x∈x|x>1+a+或-<x<1+a-
当a<-2时,x∈x|x<1+a-或1+a+<x<-
错误原因:解题时易忽视函数的定义域,不会合理分类。